Sejam o sistema cartesiano O X Y e o sistema polar O \rho \theta tal que o eixo polar O A \sim \mathrm{e} o semieixo O X positivo. Encontre a equação polar e os principais elementos, em coordenadas polares, da cônica C com um dos focos F na origem O tal que:
C é uma parábola de diretriz x=4.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação 1: o foco F da cônica C é a origem O do sistema de coordenadas. Ou seja, o foco está em (0,0).
  • Informação 2: a cônica C é uma parábola.
  • Informação 3: a diretriz é a reta x=4 (em coordenadas cartesianas).
  • Pedido: encontrar a equação em coordenadas polares da parábola C e listar os seus principais elementos expressos em coordenadas polares (por exemplo: equação polar, foco, diretriz em coordenadas polares, vértice, eixo, longituded o latus rectum e seus pontos extremos, excentricidade, etc.).

Passo 2

Relembrando a definição usada (passo-a-passo): uma cônica com foco na origem e diretriz dada é o conjunto dos pontos P tais que a distância do ponto ao foco é e vezes a distância do ponto à diretriz, onde e é a excentricidade. Em fórmula:
\text{dist}(P,F)=e\cdot \text{dist}(P,\text{diretriz}).
Para uma parábola temos, por definição, \,e=1.
Agora vamos escrever a diretriz x=4 em coordenadas polares. Em coordenadas polares a relação entre x e (r,\theta) é
x=r\cos\theta.
Portanto a diretriz x=4 é, em coordenadas polares,
r\cos\theta = 4.

Passo 3

Aplicamos a definição da parábola com e=1. Seja P um ponto da curva com coordenadas polares (r,\theta). A distância do ponto P ao foco (origem) é simplesmente r. A distância do ponto P até a reta x=4 é a distância ao longo da normal, que é |r\cos\theta - 4|.
Precisamos escolher o sinal correto em |r\cos\theta - 4|. Observação geométrica: o foco está em x=0 e a diretriz em x=4; os pontos da parábola ficam entre a origem e a diretriz no sentido x (o vértice fica em x=2), então para pontos da parábola vale r\cos\theta \le 4. Assim a distância ao directriz é
\text{dist}(P,\text{diretriz}) = 4 - r\cos\theta.
Como e=1, a definição vira
r = 4 - r\cos\theta.

Passo 4

Agora resolvemos a equação do passo anterior para r. Reorganizando:
r + r\cos\theta = 4
ou seja
r(1+\cos\theta)=4.
Portanto a equação polar da parábola é
\boxed{\,r=\dfrac{4}{1+\cos\theta}\,}.
(Na prática, esta é a forma padrão \displaystyle r=\frac{ed}{1+e\cos(\theta-\varphi)} com e=1, d=4 e \varphi=0.)

Passo 5

Vamos obter os elementos principais a partir da equação polar encontrada, sempre explicando como calcular:
  • Excentricidade: já foi usada e vale \,e=1 (definição de parábola).
  • Diretriz em coordenadas polares: já escrevemos acima como r\cos\theta=4.
  • Foco: é a origem O, que em coordenadas polares é r=0.

Passo 6

Vértice: o vértice corresponde ao ponto da parábola mais próximo do foco, que ocorre quando o denominador 1+\cos\theta é máximo (ou seja, quando \cos\theta=1, isto é \theta=0). Substituindo \theta=0 na equação polar:
r=\frac{4}{1+\cos 0}=\frac{4}{1+1}=\frac{4}{2}=2.
Logo o vértice em coordenadas polares é
\boxed{(r,\theta)=(2,0).}
Isto corresponde ao ponto cartesiano (2,0), que é o ponto médio entre o foco x=0 e a diretriz x=4.

Passo 7

Equação cartesiana (para confirmação e para calcular parâmetros como o latus rectum): usando r=\sqrt{x^2+y^2} e x=r\cos\theta, a condição de igualdade distância dá
\sqrt{x^2+y^2}=4-x.
Elevando ao quadrado:
x^2+y^2=(4-x)^2=16-8x+x^2.
Cancelando x^2 em ambos os lados:
y^2=16-8x \quad\Rightarrow\quad y^2=-8(x-2).
Esta é a forma padrão de uma parábola com vértice em (2,0) que abre para a esquerda. Podemos escrever na forma y^2=4p(x-x_0) com x_0=2, logo 4p=-8 e p=-2. O valor |p|=2 é a distância do vértice ao foco (de fato o foco está a 2 unidades à esquerda do vértice, em x=0).

Passo 8

Latus rectum (retângulo focal): comprimento e pontos extremos.
  • O comprimento do latus rectum é |4p|=8.
  • O latus rectum é a corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo. Aqui o eixo é a reta \theta=0 (o eixo OX), então a corda perpendicular passa por x=0.
  • Substituindo x=0 na equação cartesiana y^2=16 obtemos os pontos extremos do latus rectum: (0,4) e (0,-4).
  • Em coordenadas polares esses pontos são (r,\theta)=(4,\tfrac{\pi}{2}) e (r,\theta)=(4,\tfrac{3\pi}{2}).

Passo 9

Resumo dos principais elementos em termos polares (justificando cada item já feito):
  • Equação polar: \displaystyle r=\dfrac{4}{1+\cos\theta}.
  • Excentricidade: e=1.
  • Diretriz: \displaystyle r\cos\theta=4.
  • Foco: origem O, isto é r=0.
  • Vértice: (r,\theta)=(2,0).
  • Eixo da parábola: a reta \theta=0 (o eixo OX ).
  • Latus rectum: comprimento 8; extremos em coordenadas polares (4,\tfrac{\pi}{2}) e (4,\tfrac{3\pi}{2}).

Resposta

Polar: \displaystyle r=\dfrac{4}{1+\cos\theta}.\n
Excentricidade: \,e=1.\n
Diretriz: \,r\cos\theta=4.\n
Foco: O (origem), \,r=0.\n
Vértice: (r,\theta)=(2,0).\n
Eixo: \theta=0.\n
Latus rectum: comprimento 8; extremos (r,\theta)=(4,\tfrac{\pi}{2}) e (4,\tfrac{3\pi}{2}).

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