Sejam o sistema cartesiano
e o sistema polar
tal que o eixo polar
o semieixo
positivo. Encontre a equação polar e os principais elementos, em coordenadas polares, da cônica
com um dos focos
na origem
tal que:
é uma parábola de diretriz
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação 1: o foco
da cônica é a origem do sistema de coordenadas. Ou seja, o foco está em . - Informação 2: a cônica
é uma parábola. - Informação 3: a diretriz é a reta
(em coordenadas cartesianas). - Pedido: encontrar a equação em coordenadas polares da parábola
e listar os seus principais elementos expressos em coordenadas polares (por exemplo: equação polar, foco, diretriz em coordenadas polares, vértice, eixo, longituded o latus rectum e seus pontos extremos, excentricidade, etc.).
Passo 2
Relembrando a definição usada (passo-a-passo): uma cônica com foco na origem e diretriz dada é o conjunto dos pontos
tais que a distância do ponto ao foco é
vezes a distância do ponto à diretriz, onde
é a excentricidade. Em fórmula:
Para uma parábola temos, por definição,
.
Agora vamos escrever a diretriz
em coordenadas polares. Em coordenadas polares a relação entre
e
é
Portanto a diretriz
é, em coordenadas polares,
Passo 3
Aplicamos a definição da parábola com
. Seja
um ponto da curva com coordenadas polares
. A distância do ponto
ao foco (origem) é simplesmente
. A distância do ponto
até a reta
é a distância ao longo da normal, que é
.
Precisamos escolher o sinal correto em
. Observação geométrica: o foco está em
e a diretriz em
; os pontos da parábola ficam entre a origem e a diretriz no sentido
(o vértice fica em
), então para pontos da parábola vale
. Assim a distância ao directriz é
Como
, a definição vira
Passo 4
Agora resolvemos a equação do passo anterior para
. Reorganizando:
ou seja
Portanto a equação polar da parábola é
(Na prática, esta é a forma padrão
com
,
e
.)
Passo 5
Vamos obter os elementos principais a partir da equação polar encontrada, sempre explicando como calcular:
- Excentricidade: já foi usada e vale
(definição de parábola). - Diretriz em coordenadas polares: já escrevemos acima como
. - Foco: é a origem
, que em coordenadas polares é .
Passo 6
Vértice: o vértice corresponde ao ponto da parábola mais próximo do foco, que ocorre quando o denominador
é máximo (ou seja, quando
, isto é
). Substituindo
na equação polar:
Logo o vértice em coordenadas polares é
Isto corresponde ao ponto cartesiano
, que é o ponto médio entre o foco
e a diretriz
.
Passo 7
Equação cartesiana (para confirmação e para calcular parâmetros como o latus rectum): usando
e
, a condição de igualdade distância dá
Elevando ao quadrado:
Cancelando
em ambos os lados:
Esta é a forma padrão de uma parábola com vértice em
que abre para a esquerda. Podemos escrever na forma
com
, logo
e
. O valor
é a distância do vértice ao foco (de fato o foco está a
unidades à esquerda do vértice, em
).
Passo 8
Latus rectum (retângulo focal): comprimento e pontos extremos.
- O comprimento do latus rectum é
. - O latus rectum é a corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo. Aqui o eixo é a reta
(o eixo ), então a corda perpendicular passa por . - Substituindo
na equação cartesiana obtemos os pontos extremos do latus rectum: e . - Em coordenadas polares esses pontos são
e .
Passo 9
Resumo dos principais elementos em termos polares (justificando cada item já feito):
- Equação polar:
- Excentricidade:
. - Diretriz:
- Foco: origem
, isto é . - Vértice:
. - Eixo da parábola: a reta
(o eixo ). - Latus rectum: comprimento
; extremos em coordenadas polares e .
Resposta
Polar:
\n
Excentricidade: \n
Diretriz: \n
Foco: (origem),
\n
Vértice: \n
Eixo: \n
Latus rectum: comprimento ; extremos
e
.
Excentricidade:
Diretriz:
Foco:
Vértice:
Eixo:
Latus rectum: comprimento