Determine o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b} e verifique que ele é ortogonal a a e b.
5. \mathbf{a}=\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=\frac{1}{2} \mathbf{i}+\mathbf{j}+\frac{1}{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} em \mathbb{R}^3 e verificar que ele é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. O conteúdo aqui é a definição de produto vetorial, que gera um vetor perpendicular aos dois vetores dados, usando determinante de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Usando a fórmula por componentes,
\mathbf{a}\times\mathbf{b} =(a_2b_3 - a_3b_2)\,\mathbf{i} -(a_1b_3 - a_3b_1)\,\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\,\mathbf{k},
onde \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)=(1,-1,-1) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)=(\tfrac12,1,\tfrac12). Calculando cada componente:
a_2b_3 - a_3b_2 = (-1)\cdot\tfrac12 -(-1)\cdot1 = -\tfrac12 +1 = \tfrac12,
a_1b_3 - a_3b_1 = 1\cdot\tfrac12 -(-1)\cdot\tfrac12 = \tfrac12 + \tfrac12 = 1,
a_1b_2 - a_2b_1 = 1\cdot1 -(-1)\cdot\tfrac12 = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.
Portanto,
\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\tfrac12\,\mathbf{i} - 1\,\mathbf{j} + \tfrac32\,\mathbf{k}.

Passo 3

Para verificar a ortogonalidade, calculamos os produtos escalares:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 1\cdot\tfrac12 +(-1)\cdot(-1) +(-1)\cdot\tfrac32 = \tfrac12 +1 - \tfrac32 = 0,
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = \tfrac12\cdot\tfrac12 + 1\cdot(-1) + \tfrac12\cdot\tfrac32 = \tfrac14 -1 + \tfrac34 = 0.
Ambos dão zero, logo \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \tfrac12\,\mathbf{i} - \mathbf{j} + \tfrac32\,\mathbf{k},
e esse vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.

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