Determine o vetor projeção e a projeção escalar de \mathbf{b} sobre \mathbf{a}.
10. |\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=\sqrt{6}, o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é 45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá os módulos |\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=\sqrt{6} e o ângulo \theta=45^\circ entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Pede a projeção escalar de \mathbf{b} sobre \mathbf{a}, que é definida como \displaystyle \text{comp}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|},
e o vetor projeção \displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}\,\mathbf{a}.
Vamos precisar calcular o produto escalar \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} usando \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} = |\mathbf{b}|\,|\mathbf{a}|\cos\theta.

Passo 2

Calculando o produto escalar:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} = |\mathbf{b}|\,|\mathbf{a}|\,\cos\theta = \sqrt{6}\times 3\times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}.

Passo 3

Agora a projeção escalar:
\text{comp}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}.

Passo 4

E o vetor projeção:
\mathrm{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}\,\mathbf{a} = \frac{3\sqrt{3}}{9}\,\mathbf{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\mathbf{a}.

Resposta

A projeção escalar de \mathbf{b} sobre \mathbf{a} é \sqrt{3}.
O vetor projeção de \mathbf{b} sobre \mathbf{a} é \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\,\mathbf{a}.

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