Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
Passo 1
O enunciado pede para analisar o sistema discreto definido por
e verificar três propriedades típicas de sistemas em sinais e sistemas: linearidade, invariância no tempo e causalidade. Vamos usar as definições formais de cada propriedade para checar se o sistema as satisfaz.
Passo 2
Definição de linearidade: um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
,
e quaisquer escalares
,
, vale
No nosso caso
. Calculemos o lado esquerdo e o direito:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como aparece o termo
no lado esquerdo e não aparece no direito, temos
ou seja, o sistema não é linear.
Passo 3
Definição de invariância no tempo: um sistema
é invariante no tempo se, ao atrasar o sinal de entrada em
, a saída também se atrasa exatamente em
. Formalmente, seja
; então deve valer
onde
.
No nosso caso, com , temos
No nosso caso, com
Por outro lado, atrasando a saída original:
Como ambas as expressões coincidem para todo
, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Definição de causalidade: um sistema é causal se, para cada instante
, a saída
depende apenas de valores de entrada
com
(ou seja, presente e passado), não dependendo de valores futuros
com
.
Na expressão
Na expressão
o valor de
só usa
, que é um valor presente, e não há referência a
ou
com
. Portanto, o sistema é causal.
Resposta
O sistema
é:
– Não linear.
– Invariante no tempo.
– Causal.
– Não linear.
– Invariante no tempo.
– Causal.