Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
y(n)=2 x^{2}(n)+3

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sistema discreto definido por
y(n) = 2\,x(n)^{2} + 3
e verificar três propriedades típicas de sistemas em sinais e sistemas: linearidade, invariância no tempo e causalidade. Vamos usar as definições formais de cada propriedade para checar se o sistema as satisfaz.

Passo 2

Definição de linearidade: um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x_{1}(n), x_{2}(n) e quaisquer escalares a, b, vale
T\{a\,x_{1}(n) + b\,x_{2}(n)\} \;=\; a\,T\{x_{1}(n)\} \;+\; b\,T\{x_{2}(n)\}.
No nosso caso T\{x(n)\} = 2\,x(n)^{2} + 3. Calculemos o lado esquerdo e o direito:
Lado esquerdo:
T\{a\,x_{1}(n) + b\,x_{2}(n)\} = 2\bigl[a\,x_{1}(n)+b\,x_{2}(n)\bigr]^{2} + 3 = 2\bigl(a^{2}x_{1}(n)^{2} + 2ab\,x_{1}(n)x_{2}(n) + b^{2}x_{2}(n)^{2}\bigr) + 3.
Lado direito:
a\,T\{x_{1}(n)\} + b\,T\{x_{2}(n)\} = a\bigl(2\,x_{1}(n)^{2}+3\bigr) + b\bigl(2\,x_{2}(n)^{2}+3\bigr) = 2a\,x_{1}(n)^{2} + 2b\,x_{2}(n)^{2} + 3(a+b).
Como aparece o termo 2ab\,x_{1}(n)x_{2}(n) no lado esquerdo e não aparece no direito, temos
T\{a\,x_{1} + b\,x_{2}\} \;\neq\; a\,T\{x_{1}\} + b\,T\{x_{2}\},
ou seja, o sistema não é linear.

Passo 3

Definição de invariância no tempo: um sistema T é invariante no tempo se, ao atrasar o sinal de entrada em n_{0}, a saída também se atrasa exatamente em n_{0}. Formalmente, seja x'(n)=x(n-n_{0}); então deve valer
T\{x'(n)\} \;=\; y'(n) \quad\text{e}\quad y'(n) \;=\; y(n-n_{0}),
onde y(n)=T\{x(n)\}.
No nosso caso, com x'(n)=x(n-n_{0}), temos
T\{x'(n)\} = 2\,x(n-n_{0})^{2} + 3.
Por outro lado, atrasando a saída original:
y(n-n_{0}) = 2\,x(n-n_{0})^{2} + 3.
Como ambas as expressões coincidem para todo n_{0}, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Definição de causalidade: um sistema é causal se, para cada instante n, a saída y(n) depende apenas de valores de entrada x(k) com k \le n (ou seja, presente e passado), não dependendo de valores futuros x(k) com k>n.
Na expressão
y(n) = 2\,x(n)^{2} + 3
o valor de y(n) só usa x(n), que é um valor presente, e não há referência a x(n+1) ou x(n+m) com m>0. Portanto, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y(n)=2\,x(n)^{2}+3 é:
– Não linear.
– Invariante no tempo.
– Causal.

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