Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
Passo 1
O enunciado define o sistema discreto
e pede para verificar se ele é (a) linear, (b) invariante no tempo e (c) causal. Vamos usar os conceitos de superposição e homogeneidade para linearidade, o teste de deslocamento para invariância em tempo e a definição de causalidade em sistemas discretos.
Passo 2
Para testar linearidade, aplicamos o princípio da superposição e homogeneidade. Em particular, um sistema é linear se a entrada nula gera saída nula. Seja
. Então
Como a saída não é zero quando a entrada é zero, o sistema não satisfaz a condição de homogeneidade e, portanto, não é linear.
Passo 3
Para testar invariância no tempo, consideramos uma entrada deslocada
. A saída correspondente é
Por outro lado, deslocando a saída original temos
Como
para todo
, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Um sistema é causal se, para cada
,
depender apenas de valores de
com
. Aqui
usa o valor
, que é um valor futuro (índice maior que
). Isso viola a definição de causalidade, logo o sistema é não causal.
Resposta
O sistema não é linear, é invariante no tempo e não é causal.