Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
y(n)=(\pi+3) x(n+1)+\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado define o sistema discreto
y(n) = (\pi+3)\,x(n+1) + \sqrt{2}
e pede para verificar se ele é (a) linear, (b) invariante no tempo e (c) causal. Vamos usar os conceitos de superposição e homogeneidade para linearidade, o teste de deslocamento para invariância em tempo e a definição de causalidade em sistemas discretos.

Passo 2

Para testar linearidade, aplicamos o princípio da superposição e homogeneidade. Em particular, um sistema é linear se a entrada nula gera saída nula. Seja x(n)\equiv 0. Então
y(n) = (\pi+3)\,0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}\neq 0.
Como a saída não é zero quando a entrada é zero, o sistema não satisfaz a condição de homogeneidade e, portanto, não é linear.

Passo 3

Para testar invariância no tempo, consideramos uma entrada deslocada x_1(n)=x(n-n_0). A saída correspondente é
y_1(n) = (\pi+3)\,x_1(n+1)+\sqrt{2} = (\pi+3)\,x\bigl((n+1)-n_0\bigr)+\sqrt{2} = (\pi+3)\,x\bigl(n-n_0+1\bigr)+\sqrt{2}.
Por outro lado, deslocando a saída original temos
y(n-n_0) = (\pi+3)\,x\bigl((n-n_0)+1\bigr)+\sqrt{2} = (\pi+3)\,x\bigl(n-n_0+1\bigr)+\sqrt{2}.
Como y_1(n)=y(n-n_0) para todo n_0, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Um sistema é causal se, para cada n, y(n) depender apenas de valores de x(k) com k\le n. Aqui
y(n) = (\pi+3)\,x(n+1) + \sqrt{2}
usa o valor x(n+1), que é um valor futuro (índice maior que n). Isso viola a definição de causalidade, logo o sistema é não causal.

Resposta

O sistema não é linear, é invariante no tempo e não é causal.

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