Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
y(n)=2 n x(n+1) x(n+1)+5

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema discreto
y(n) \;=\; 2\,n\,[\,x(n+1)\,]^2 \;+\; 5
quanto às propriedades de linearidade, invariância em tempo e causalidade. Vamos usar as definições básicas:
– Linearidade (superposição: aditividade e homogeneidade).
– Invariância no tempo (deslocar a entrada desloca a saída na mesma quantidade).
– Causalidade (para cada n, y(n) só depende de valores x(m) com m\le n).

Passo 2

Teste de linearidade. Seja x_1(n) com resposta y_1(n)=T\{x_1(n)\} e x_2(n) com resposta y_2(n)=T\{x_2(n)\}. Para escalares a,b, a entrada combinada é
x(n)=a\,x_1(n)+b\,x_2(n),
então
T\{x(n)\} =2\,n\bigl[a\,x_1(n+1)+b\,x_2(n+1)\bigr]^2+5.
Expandindo o quadrado:
2\,n\bigl[a^2x_1^2(n+1)+2ab\,x_1(n+1)x_2(n+1)+b^2x_2^2(n+1)\bigr]+5.
Por outro lado,
a\,y_1(n)+b\,y_2(n) =a\bigl[2n\,x_1^2(n+1)+5\bigr]+b\bigl[2n\,x_2^2(n+1)+5\bigr] =2n\bigl[a\,x_1^2(n+1)+b\,x_2^2(n+1)\bigr]+5(a+b).
Repare que em T\{a x_1+b x_2\} aparece o termo cruzado 2ab\,x_1x_2 e o deslocamento de 5 não escala corretamente. Logo não vale
T\{a\,x_1+b\,x_2\} \neq a\,T\{x_1\}+b\,T\{x_2\},
e o sistema não é linear.

Passo 3

Teste de invariância no tempo. Seja uma entrada deslocada x_k(n)=x(n-k). A saída desse sinal é
T\{x_k(n)\} =2\,n\bigl[x(n-k+1)\bigr]^2+5.
Agora deslocamos a saída original y(n)=T\{x(n)\} em k:
y(n-k)=2\,(n-k)\bigl[x(n-k+1)\bigr]^2+5.
Como
T\{x(n-k)\}=2\,n[x(n-k+1)]^2+5 \quad\neq\quad y(n-k)=2\,(n-k)[x(n-k+1)]^2+5,
o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Teste de causalidade. Para cada instante n, y(n) depende de x(n+1), ou seja, de um valor de entrada em m=n+1>n. Isso viola a condição de que um sistema causal não pode usar valores futuros de x. Portanto, o sistema não é causal.

Resposta

O sistema y(n)=2n[x(n+1)]^2+5
não é linear,
não é invariante no tempo,
não é causal.

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