Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
\frac{x^{2}}{5}-2 x+20=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x^{2}}{5}-2x+20=0
e pede para determinar quantas raízes essa equação possui. Vou interpretar aqui que a pergunta refere-se primeiro a raízes reais (o caso mais comum). Se for preciso, também posso mencionar as raízes complexas (caso não haja reais). As informações relevantes que temos: a equação é uma igualdade envolvendo x e contém um termo em x^{2}, um termo em x e um termo constante.

Passo 2

Primeiro passo prático: transforme a equação numa forma mais simples, sem frações, multiplicando ambos os lados por 5 (isso é permitido porque 5\neq0 e não altera as soluções):
5\cdot\left(\frac{x^{2}}{5}-2x+20\right)=5\cdot 0.
Ao distribuir o 5 obtemos
x^{2}-10x+100=0.
Esta é uma equação do tipo onde aparecem x^{2}, x e uma constante — a forma padrão é sempre escrita como \,ax^{2}+bx+c=0.

Passo 3

Identifique os coeficientes na forma padrão \,ax^{2}+bx+c=0:
a=1,\qquad b=-10,\qquad c=100.
Explicando: a é o coeficiente que multiplica x^{2}, b é o coeficiente que multiplica x e c é a constante.

Passo 4

Agora uma ideia-chave que sempre se usa para contar raízes reais de uma equação desse tipo: o discriminante. Definição e interpretação:
\Delta = b^{2}-4ac.
O que isso significa na prática:
  • Se \Delta>0, a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0, a equação tem exatamente uma raiz real (uma raiz dupla).
  • Se \Delta<0, a equação não tem raízes reais (as soluções são complexas conjugadas).
Exemplo rápido para fixar: para \,x^{2}-2x+1=0 temos a=1,b=-2,c=1 e \Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot1=4-4=0, então há uma raiz real dupla x=1.

Passo 5

Calcule o discriminante para a nossa equação usando a=1, b=-10, c=100:
\Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot100 = 100-400 = -300.
Detalhe das contas: (-10)^{2}=100 e 4\cdot1\cdot100=400, então 100-400=-300.

Passo 6

Interpretação do resultado: como \Delta=-300<0, a equação não tem nenhuma raiz real. Em vez disso, tem duas raízes complexas conjugadas. Se for útil ver as soluções complexas explicitamente, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10\pm\sqrt{-300}}{2}.
Como \sqrt{-300}=10\,i\sqrt{3} (porque 300=100\cdot3 e \sqrt{100}=10), obtemos as duas raízes complexas
x=5\pm5\,i\sqrt{3}.

Resposta

Nenhuma raiz real.
Duas raízes complexas conjugadas: 5\pm5\,i\sqrt{3}.

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