Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar quantas raízes essa equação possui. Vou interpretar aqui que a pergunta refere-se primeiro a raízes reais (o caso mais comum). Se for preciso, também posso mencionar as raízes complexas (caso não haja reais). As informações relevantes que temos: a equação é uma igualdade envolvendo
e contém um termo em
, um termo em
e um termo constante.
Passo 2
Primeiro passo prático: transforme a equação numa forma mais simples, sem frações, multiplicando ambos os lados por
(isso é permitido porque
e não altera as soluções):
Ao distribuir o
obtemos
Esta é uma equação do tipo onde aparecem
,
e uma constante — a forma padrão é sempre escrita como
.
Passo 3
Identifique os coeficientes na forma padrão
:
Explicando:
é o coeficiente que multiplica
,
é o coeficiente que multiplica
e
é a constante.
Passo 4
Agora uma ideia-chave que sempre se usa para contar raízes reais de uma equação desse tipo: o discriminante. Definição e interpretação:
O que isso significa na prática:
- Se
, a equação tem duas raízes reais distintas. - Se
, a equação tem exatamente uma raiz real (uma raiz dupla). - Se
, a equação não tem raízes reais (as soluções são complexas conjugadas).
Exemplo rápido para fixar: para
temos
e
, então há uma raiz real dupla
.
Passo 5
Calcule o discriminante para a nossa equação usando
,
,
:
Detalhe das contas:
e
, então
.
Passo 6
Interpretação do resultado: como
, a equação não tem nenhuma raiz real. Em vez disso, tem duas raízes complexas conjugadas. Se for útil ver as soluções complexas explicitamente, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Como
(porque
e
), obtemos as duas raízes complexas
Resposta
Nenhuma raiz real.
Duas raízes complexas conjugadas: .
Duas raízes complexas conjugadas: