Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
-x^{2}+16 x-64=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas raízes a equação dada possui. A equação fornecida é:
-x^{2}+16x-64=0
Informações relevantes dadas:
  • A equação é um polinômio quadrático igualado a zero.
  • O objetivo é descobrir quantas raízes reais esta equação tem (e, se quiser, o valor da(s) raiz(es)).

Passo 2

Para trabalhar com quadráticas, é útil lembrar a forma padrão de uma equação quadrática:
ax^{2}+bx+c=0,
onde a, b e c são constantes (coeficientes) e a\neq0. Comparando com a equação dada:
-x^{2}+16x-64=0,
temos os coeficientes
a=-1,\qquad b=16,\qquad c=-64.
(Observação: poderia multiplicar ambos os lados por -1 para obter x^{2}-16x+64=0, o que muda os sinais de a,b,c simultaneamente; isso é apenas uma transformação conveniente, mas não altera as raízes.)

Passo 3

Explicando a ferramenta principal: discriminante. Para uma quadrática ax^{2}+bx+c=0 define-se o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac.
Significado prático do discriminante:
  • Se \Delta>0 então há duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0 então há exatamente uma raiz real (ou seja, uma raiz dupla, multiplicidade 2).
  • Se \Delta<0 então não há raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
Além disso, as raízes (quando se quer os valores) são dadas pela fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde os símbolos significam o óbvio: -b é o negativo do coeficiente b, 2a duas vezes a, e \sqrt{\Delta} é a raiz quadrada do discriminante.

Passo 4

Calculando o discriminante para os coeficientes identificados:
\Delta = b^{2}-4ac = 16^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-64).
Fazendo as contas passo a passo:
16^{2}=256,
4\cdot(-1)\cdot(-64)=4\cdot64=256,
portanto
\Delta = 256-256=0.

Passo 5

Interpretação: como \Delta=0, a equação tem exatamente uma raiz real (uma raiz de multiplicidade 2, chamada raiz dupla). Agora calcular o valor dessa raiz usando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-16\pm\sqrt{0}}{2\cdot(-1)}=\frac{-16}{-2}=8.
Como verificação alternativa (completando o quadrado): multiplicando por -1 obtemos
x^{2}-16x+64=0,
que é
(x-8)^{2}=0,
daí x=8 é a única raiz (dupla). Bom trabalho — já viu que bate com os dois métodos!

Resposta

Uma raiz real (raiz dupla): x=8

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