Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas raízes a equação dada possui. A equação fornecida é:
Informações relevantes dadas:
- A equação é um polinômio quadrático igualado a zero.
- O objetivo é descobrir quantas raízes reais esta equação tem (e, se quiser, o valor da(s) raiz(es)).
Passo 2
Para trabalhar com quadráticas, é útil lembrar a forma padrão de uma equação quadrática:
onde
,
e
são constantes (coeficientes) e
. Comparando com a equação dada:
temos os coeficientes
(Observação: poderia multiplicar ambos os lados por
para obter
, o que muda os sinais de
simultaneamente; isso é apenas uma transformação conveniente, mas não altera as raízes.)
Passo 3
Explicando a ferramenta principal: discriminante. Para uma quadrática
define-se o discriminante
Significado prático do discriminante:
- Se
então há duas raízes reais distintas. - Se
então há exatamente uma raiz real (ou seja, uma raiz dupla, multiplicidade 2). - Se
então não há raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
Além disso, as raízes (quando se quer os valores) são dadas pela fórmula quadrática
onde os símbolos significam o óbvio:
é o negativo do coeficiente
,
duas vezes
, e
é a raiz quadrada do discriminante.
Passo 4
Calculando o discriminante para os coeficientes identificados:
Fazendo as contas passo a passo:
portanto
Passo 5
Interpretação: como
, a equação tem exatamente uma raiz real (uma raiz de multiplicidade 2, chamada raiz dupla). Agora calcular o valor dessa raiz usando a fórmula:
Como verificação alternativa (completando o quadrado): multiplicando por
obtemos
que é
daí
é a única raiz (dupla). Bom trabalho — já viu que bate com os dois métodos!
Resposta
Uma raiz real (raiz dupla):