Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
-2 x^{2}-5 x+9=0

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
-2x^{2}-5x+9=0
O que é pedido: determinar quantas raízes essa equação possui.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é do segundo grau (coeficiente de x^{2} diferente de zero).
  • Os coeficientes são números inteiros (vou extrair a, b, c nos passos seguintes).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): para uma equação quadrática geral
ax^{2}+bx+c=0
definem-se os coeficientes a, b e c. O discriminante \Delta é dado por
\Delta = b^{2}-4ac.
Interpretação do discriminante (o que cada caso significa):
  • Se \Delta>0, a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla (uma única solução real, multiplicidade 2).
  • Se \Delta<0, a equação não tem raízes reais (tem duas raízes complexas conjugadas).
    Esta regra vem da fórmula de Bhaskara (fórmula explícita das raízes):
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde a presença de \sqrt{\Delta} determina o número e o tipo das raízes.

Passo 3

Identificar os coeficientes na equação dada. Comparando
-2x^{2}-5x+9=0
com ax^{2}+bx+c=0, obtemos:
a=-2,\qquad b=-5,\qquad c=9.

Passo 4

Calcular o discriminante passo a passo.
Primeiro b^{2}:
b^{2}=(-5)^{2}=25.
Depois 4ac:
4ac=4\cdot(-2)\cdot 9=4\cdot(-18)=-72.
Agora \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta = 25 - (-72) = 25 + 72 = 97.

Passo 5

Interpretação do resultado: como \Delta=97>0, pela regra do discriminante a equação tem duas raízes reais distintas. (Se fosse necessário encontrar as raízes numéricas, usaríamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{97}}{-4}=-\frac{5\pm\sqrt{97}}{4},
que de fato fornece duas valores reais distintos; aproximadamente x\approx 1{,}212 e x\approx -3{,}712.)

Resposta

Possui 2 raízes reais distintas.

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