Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
O que se pede: determinar quantas raízes essa equação possui.
Informações úteis extraídas do enunciado (coeficientes da quadrática): ,
,
.
Informações úteis extraídas do enunciado (coeficientes da quadrática):
Passo 2
Conceito importante que vou usar: o discriminante de uma equação quadrática
, é definido por
O que significa
:
- Se
: a equação tem duas raízes reais e distintas. - Se
: a equação tem uma única raiz real (raiz dupla). - Se
: a equação não tem raízes reais; tem duas raízes complexas distintas (conjugadas).
Explicando de maneira simples: o discriminante mede se a raiz quadrada que aparece na fórmula resolvente é real () ou imaginária ( ). Aqui as variáveis são: é o coeficiente de , é o coeficiente de e é o termo constante.
Passo 3
Calcular o discriminante com os coeficientes que pegamos:
Portanto
, que é menor que zero.
Passo 4
Interpretação do resultado: como
, a equação não possui raízes reais. Pelo mesmo motivo, no conjunto dos números complexos ela possui duas raízes complexas distintas (que são conjugadas entre si).
Passo 5
Para ficar bem claro, podemos escrever as raízes usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula diz que as raízes são
Substituindo
,
e
:
onde
é a unidade imaginária (
). Isso confirma que existem exatamente duas raízes complexas distintas e nenhuma raiz real.
Resposta
Nenhuma raiz real.
Duas raízes complexas distintas.
Duas raízes complexas distintas.