Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
x^{2}-3 x+8=0

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^{2}-3x+8=0.
O que se pede: determinar quantas raízes essa equação possui.
Informações úteis extraídas do enunciado (coeficientes da quadrática): a=1, b=-3, c=8.

Passo 2

Conceito importante que vou usar: o discriminante de uma equação quadrática \,ax^{2}+bx+c=0, é definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
O que significa \Delta:
  • Se \Delta>0: a equação tem duas raízes reais e distintas.
  • Se \Delta=0: a equação tem uma única raiz real (raiz dupla).
  • Se \Delta<0: a equação não tem raízes reais; tem duas raízes complexas distintas (conjugadas).
    Explicando de maneira simples: o discriminante mede se a raiz quadrada que aparece na fórmula resolvente é real ( \Delta\ge0) ou imaginária ( \Delta<0). Aqui as variáveis são: a é o coeficiente de x^{2}, b é o coeficiente de x e c é o termo constante.

Passo 3

Calcular o discriminante com os coeficientes que pegamos:
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 8 = 9-32 = -23.
Portanto \Delta=-23, que é menor que zero.

Passo 4

Interpretação do resultado: como \Delta<0, a equação não possui raízes reais. Pelo mesmo motivo, no conjunto dos números complexos ela possui duas raízes complexas distintas (que são conjugadas entre si).

Passo 5

Para ficar bem claro, podemos escrever as raízes usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula diz que as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Substituindo a=1, b=-3 e \Delta=-23:
x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{-23}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm\sqrt{-23}}{2}=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{23}}{2}\,i,
onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Isso confirma que existem exatamente duas raízes complexas distintas e nenhuma raiz real.

Resposta

Nenhuma raiz real.
Duas raízes complexas distintas.

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