Determine a quantidade de \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4} que deve ser adicionada num meio de cultura de fermentação onde a concentração celular ( \mathrm{C}_{\mathrm{X}} ) final esperada é de 30 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1} num volume de 10^{3} \mathrm{~L}. Assuma que as células apresentam 12 \%(\mathrm{w} / \mathrm{w}) de nitrogênio e que o \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4} é a única fonte de nitrogênio.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que se quer):
  • Concentração celular final esperada: \,C_X = 30\\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}\,.
  • Volume do cultivo: \,V = 10^{3}\\ \mathrm{L}\,.
  • Fração de nitrogênio nas células: 12\% em massa, ou seja 0,12 (w/w).
  • A fonte de nitrogênio é somente \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}.
  • Pergunta: determinar a massa de \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4} a ser adicionada ao meio para suprir o nitrogênio necessário.

Passo 2

Calcular a massa total de biomassa que se quer obter no volume dado. Multiplica-se a concentração celular pelo volume:
m_{\text{biomassa}} = C_X \times V = 30\\ \mathrm{g\cdot L^{-1}} \times 10^{3}\\ \mathrm{L} = 3\times10^{4}\\ \mathrm{g}.
Explicação didática: aqui converti a concentração (gramas por litro) em massa total multiplicando pelo número de litros. É o mesmo raciocínio de: “30 gramas em cada litro” vezes “1000 litros” dá “30000 gramas”.

Passo 3

Determinar a massa de nitrogênio contida nessa biomassa usando a fração 12\% (ou 0,12 em termo decimal):
m_{N} = 0,12 \times m_{\text{biomassa}} = 0,12 \times 3\times10^{4}\\ \mathrm{g} = 3,6\times10^{3}\\ \mathrm{g}.
Explicação didática: como as células têm 12\% de N em massa, multiplico a massa total de células por 0,12 para obter quantos gramas de N são necessários incorporar.

Passo 4

Calcular a fração em massa de nitrogênio no \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}. Primeiro calcular a massa molar do sal.
  • Pesos atômicos usados (g·mol^{-1}): \,N=14,01,\\ H=1,008,\\ S=32,06,\\ O=16,00\,.
  • Composição de \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}: dois átomos de N, oito de H, um de S e quatro de O. Então a massa molar é
M_{\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}} = 2\times14,01 + 8\times1,008 + 32,06 + 4\times16,00 = 132,14\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
A massa de nitrogênio por mol do sal é
m_{N,\text{por mol}} = 2\times14,01 = 28,02\\ \mathrm{g}.
Logo a fração mássica de nitrogênio no sal é
w_N = \frac{28,02}{132,14} \approx 0,212\quad(\text{ou }21,2\%).
Explicação didática: a fração mássica diz quantos gramas de N existem em cada grama do sal. Para cada mol do sal (132,14 g) há 28,02 g de N, portanto cerca de 21{,}2\% da massa do sal é N.

Passo 5

Calcular a massa de \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4} necessária para fornecer os 3{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{g} de N encontrados no Passo 3. Usa-se a relação
m_{\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}} = \frac{m_{N}}{w_N} = \frac{3,6\times10^{3}\\ \mathrm{g}}{0,21199\ldots} \approx 1,6984\times10^{4}\\ \mathrm{g}.
Converter para quilogramas:
1,6984\times10^{4}\\ \mathrm{g} = 16,98\\ \mathrm{kg}.
Explicação didática: aqui dividi a massa de nitrogênio necessária pela fração de N no sal para obter a massa total do sal que contém essa quantidade de N.

Passo 6

Comentários práticos e suposições (importante para prova e prática de laboratório):
  • Foram assumidos que todo o nitrogênio necessário às células vem do \left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4} e que não há perdas, volatilização, consumo por microrganismos contaminantes, nem consumo para reações não-incorporativas. Na prática, costuma-se adicionar uma pequena margem de segurança (por exemplo 5–10%) ou calcular também necessidade para demais demandas (enzimas secretadas, manutenção, etc.).
  • Foi assumida pureza de 100\% do sal comercial. Se o sal tiver impurezas, ajustar a massa calculada dividindo pela pureza fracionária.

Resposta

m_{\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}} = 1,70\times10^{4}\\ \mathrm{g}
m_{\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2}\mathrm{SO}_{4}} = 16,98\\ \mathrm{kg}

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