Para monitorar a presença de certa praga em uma lavoura de café ao longo dos 12 meses de um ano, os agrônomos modelaram a função quadrática \mathrm{f}(\mathrm{x}), dada por f(x)=-\frac{80}{49} x^{2}+\frac{1280}{49} x-\frac{1200}{49}, em que x varia de 1 até 12 .
Nessa função, f(x) indica a porcentagem da lavoura que possui a presença da praga e x indica \circ mês do ano em que foi feito o monitoramento da área, sendo x=1 o início do mês de janeiro, x=2 o início do mês de fevereiro, e assim sucessivamente até x= 12, que representa o início do mês de dezembro. Por exemplo, como f(2)=\frac{1040}{49} \approx 21,2 \% da lavoura no início de fevereiro.
Avaliando-se o comportamento dessa função no intervalo em que \mathrm{x} \in[1,12], a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga foi de
A 20 \% e ocorreu no início do mês de agosto.
B 0\% e ocorreu no início do mês de janeiro.
C 40 \% e ocorreu no meio do mês de julho.
D 50 \% e ocorreu no final do mês de julho.
E 80\% e ocorreu no início do mês de agosto.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=-\frac{80}{49}x^{2}+\frac{1280}{49}x-\frac{1200}{49},
com x variando em [1,12]. Aqui:
  • f(x) é a porcentagem da lavoura que possui a praga no início do mês x.
  • x=1 corresponde ao início de janeiro, x=2 ao início de fevereiro, …, x=12 ao início de dezembro.
A pergunta pede: qual foi a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga, e quando isso ocorreu? (As alternativas dão valores e épocas.)

Passo 2

Entendendo o que buscar: a porcentagem livre da praga no início do mês x é
\text{livre}(x)=100\% - f(x).
Queremos a menor valor de \text{livre}(x) para x\in[1,12]. Note um fato importante de lógica: minimizar \text{livre}(x)=100-f(x) é equivalente a maximizar f(x), porque subtrair de 100 inverte a ordem (se f é maior, 100-f é menor). Então basta achar o valor máximo de f(x) no intervalo dado.

Passo 3

Tipo da função e localização do máximo: f(x) é uma função quadrática da forma f(x)=ax^{2}+bx+c com
a=-\frac{80}{49},\qquad b=\frac{1280}{49},\qquad c=-\frac{1200}{49}.
Como a<0, a parábola é côncava para baixo e tem um único ponto de máximo: o vértice. A abscissa do vértice (onde ocorre o máximo) é dada pela fórmula
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Calculemos x_{v}:
x_{v}=-\frac{\tfrac{1280}{49}}{2\cdot\left(-\tfrac{80}{49}\right)} = -\frac{\tfrac{1280}{49}}{-\tfrac{160}{49}} = \frac{1280}{160}=8.
Portanto o máximo de f ocorre em x=8. Esse valor está dentro do intervalo [1,12], ou seja, é um candidato válido.

Passo 4

Calcular f(8) (a porcentagem presente de praga no início do mês 8):
f(8)=-\frac{80}{49}\cdot 8^{2}+\frac{1280}{49}\cdot 8-\frac{1200}{49}.
Calcule termo a termo:
8^{2}=64,\quad -\frac{80}{49}\cdot64=-\frac{5120}{49},
\frac{1280}{49}\cdot8=\frac{10240}{49},
então
f(8)=\frac{-5120+10240-1200}{49}=\frac{3920}{49}.
Observando que 49\cdot80=3920, obtemos
f(8)=80\%.
Ou seja, no início do mês 8 (início de agosto) 80\% da lavoura possuía a praga.

Passo 5

Agora a porcentagem livre naquele instante é
\text{livre}(8)=100\%-f(8)=100\%-80\%=20\%.
Como f(8) é o máximo de f no intervalo (vértice da parábola côncava para baixo), \text{livre}(8) é o valor mínimo possível de \text{livre}(x) em [1,12]. Logo a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga foi 20\%, e isso ocorreu no início de agosto.
(Fazendo uma checagem rápida: f(1)=0\% — início de janeiro não tinha praga — logo aí a lavoura estava 100\% livre, que é o máximo de livre e não o mínimo; isto confirma que o mínimo de livre não é num dos extremos, mas no vértice encontrado.)

Resposta

A 20\% e ocorreu no início do mês de agosto.

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