Para monitorar a presença de certa praga em uma lavoura de café ao longo dos 12 meses de um ano, os agrônomos modelaram a função quadrática
, dada por
, em que x varia de 1 até 12 .
Nessa função,
indica a porcentagem da lavoura que possui a presença da praga e x indica
mês do ano em que foi feito o monitoramento da área, sendo
o início do mês de janeiro,
o início do mês de fevereiro, e assim sucessivamente até
12, que representa o início do mês de dezembro. Por exemplo, como
da lavoura no início de fevereiro.
Avaliando-se o comportamento dessa função no intervalo em que
, a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga foi de
A
e ocorreu no início do mês de agosto.
B
e ocorreu no início do mês de janeiro.
C
e ocorreu no meio do mês de julho.
D
e ocorreu no final do mês de julho.
E
e ocorreu no início do mês de agosto.
Passo 1
O enunciado fornece a função
com
variando em
. Aqui:
-
é a porcentagem da lavoura que possui a praga no início do mês . -
corresponde ao início de janeiro, ao início de fevereiro, …, ao início de dezembro.
A pergunta pede: qual foi a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga, e quando isso ocorreu? (As alternativas dão valores e épocas.)
Passo 2
Entendendo o que buscar: a porcentagem livre da praga no início do mês
é
Queremos a menor valor de
para
. Note um fato importante de lógica: minimizar
é equivalente a maximizar
, porque subtrair de 100 inverte a ordem (se
é maior,
é menor). Então basta achar o valor máximo de
no intervalo dado.
Passo 3
Tipo da função e localização do máximo:
é uma função quadrática da forma
com
Como
, a parábola é côncava para baixo e tem um único ponto de máximo: o vértice. A abscissa do vértice (onde ocorre o máximo) é dada pela fórmula
Calculemos
:
Portanto o máximo de
ocorre em
. Esse valor está dentro do intervalo
, ou seja, é um candidato válido.
Passo 4
Calcular
(a porcentagem presente de praga no início do mês
):
Calcule termo a termo:
então
Observando que
, obtemos
Ou seja, no início do mês
(início de agosto)
da lavoura possuía a praga.
Passo 5
Agora a porcentagem livre naquele instante é
Como
é o máximo de
no intervalo (vértice da parábola côncava para baixo),
é o valor mínimo possível de
em
. Logo a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga foi
, e isso ocorreu no início de agosto.
(Fazendo uma checagem rápida:
— início de janeiro não tinha praga — logo aí a lavoura estava
livre, que é o máximo de livre e não o mínimo; isto confirma que o mínimo de livre não é num dos extremos, mas no vértice encontrado.)
Resposta
A
e ocorreu no início do mês de agosto.