3 ;- Determine quantos átomos de carbono e de hidrogénio tem a célula unitária cristalina da cadeia do polietileno. Nesta cadeia o numero de átomos de hidrogénio é o dobro do que o numero de átomos de carbono.
A densidade do polietileno é : \mathcal{\rho}=0,95 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • A cadeia do polietileno tem que o número de átomos de hidrogénio é o dobro do número de átomos de carbono.
  • A densidade do polietileno é \mathcal{\rho}=0,95\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
O que o problema pede:
  • Determinar quantos átomos de carbono e quantos átomos de hidrogénio tem a célula unitária cristalina da cadeia do polietileno.

Passo 2

Explicação do que é a “célula unitária da cadeia” do polietileno (conceito importante, passo a passo):
  • Polietileno é um polímero formado por unidades repetidas -\mathrm{CH}_2-. Cada unidade repetida tem exatamente um átomo de carbono e dois átomos de hidrogénio.
  • A “célula unitária da cadeia” normalmente refere-se à menor unidade repetitiva ao longo da cadeia polymerica (o monómero ou unidade repetida). Essa unidade é a menor parte que, repetida muitas vezes, reconstrói a cadeia inteira.
  • Portanto, a expectativa física e química é que essa unidade repetida seja \mathrm{CH}_2: um carbono ligado a dois hidrogénios.

Passo 3

Formalizando com incógnitas e a condição dada:
  • Seja n_C o número de átomos de carbono na célula unitária e n_H o número de átomos de hidrogénio.
  • O enunciado dá a relação
n_H = 2\,n_C.
  • Procuramos a menor célula unitária inteira (menores inteiros positivos) que satisfaça essa relação, porque a célula unitária deve ser a menor repetição que gera a cadeia.

Passo 4

Resolvendo a relação e justificando a escolha do menor inteiro:
  • A solução inteira positiva mínima para n_H = 2\,n_C é obtida tomando n_C=1, o que dá
n_H = 2\cdot 1 = 2.
  • Isso corresponde exatamente à unidade repetida \mathrm{CH}_2, que é a célula unitária da cadeia do polietileno. Não faz sentido escolher n_C=0,5 ou outros valores fracionários porque o número de átomos tem de ser inteiro; escolher n_C>1 daria uma célula unitária maior do que a mínima.

Passo 5

Comentário sobre a densidade fornecida (por que não era necessária para contar átomos, e cálculo opcional que pode interessar):
  • A densidade \mathcal{\rho}=0,95\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} não era necessária para responder quantos átomos há na célula unitária mínima; essa contagem vem da natureza química da unidade repetida \mathrm{CH}_2.
  • Se quiseres, pode-se calcular a massa de uma célula unitária e o volume correspondente usando a densidade (apenas para intuição):
    • Massas atómicas aproximadas: carbono \approx12\\ \mathrm{u}, hidrogénio \approx1\\ \mathrm{u}. Assim a massa da unidade \mathrm{CH}_2 é
    m = 12 + 2\cdot1 = 14\\ \mathrm{u}.
    • Convertendo para gramas usando 1\\ \mathrm{u}=1,66054\times10^{-24}\\ \mathrm{g}:
    m = 14\times1,66054\times10^{-24}\\ \mathrm{g} \approx 2,324756\times10^{-23}\\ \mathrm{g}.
    • O volume ocupado por essa unidade, usando V=m/\rho, seria
    V \approx \frac{2,324756\times10^{-23}}{0,95}\\ \mathrm{cm}^3 \approx 2,44711\times10^{-23}\\ \mathrm{cm}^3,o que é apenas um cálculo ilustrativo (para obter o volume real da célula cristalina precisa-se das constantes de rede).

Passo 6

Recapitulando de forma calma e amigável: a menor célula unitária da cadeia do polietileno é a unidade repetida \mathrm{CH}_2, logo tem um carbono e dois hidrogénios. Continua firme nos estudos — isto é um daqueles problemas em que a intuição química já resolve grande parte!

Resposta

Número de átomos de carbono: 1
Número de átomos de hidrogénio: 2

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