3 ;- Determine quantos átomos de carbono e de hidrogénio tem a célula unitária cristalina da cadeia do polietileno. Nesta cadeia o numero de átomos de hidrogénio é o dobro do que o numero de átomos de carbono.
A densidade do polietileno é :
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- A cadeia do polietileno tem que o número de átomos de hidrogénio é o dobro do número de átomos de carbono.
- A densidade do polietileno é
.
O que o problema pede:
- Determinar quantos átomos de carbono e quantos átomos de hidrogénio tem a célula unitária cristalina da cadeia do polietileno.
Passo 2
Explicação do que é a “célula unitária da cadeia” do polietileno (conceito importante, passo a passo):
- Polietileno é um polímero formado por unidades repetidas
. Cada unidade repetida tem exatamente um átomo de carbono e dois átomos de hidrogénio. - A “célula unitária da cadeia” normalmente refere-se à menor unidade repetitiva ao longo da cadeia polymerica (o monómero ou unidade repetida). Essa unidade é a menor parte que, repetida muitas vezes, reconstrói a cadeia inteira.
- Portanto, a expectativa física e química é que essa unidade repetida seja
: um carbono ligado a dois hidrogénios.
Passo 3
Formalizando com incógnitas e a condição dada:
- Seja
o número de átomos de carbono na célula unitária e o número de átomos de hidrogénio. - O enunciado dá a relação
- Procuramos a menor célula unitária inteira (menores inteiros positivos) que satisfaça essa relação, porque a célula unitária deve ser a menor repetição que gera a cadeia.
Passo 4
Resolvendo a relação e justificando a escolha do menor inteiro:
- A solução inteira positiva mínima para
é obtida tomando , o que dá
- Isso corresponde exatamente à unidade repetida
, que é a célula unitária da cadeia do polietileno. Não faz sentido escolher ou outros valores fracionários porque o número de átomos tem de ser inteiro; escolher daria uma célula unitária maior do que a mínima.
Passo 5
Comentário sobre a densidade fornecida (por que não era necessária para contar átomos, e cálculo opcional que pode interessar):
- A densidade
não era necessária para responder quantos átomos há na célula unitária mínima; essa contagem vem da natureza química da unidade repetida . - Se quiseres, pode-se calcular a massa de uma célula unitária e o volume correspondente usando a densidade (apenas para intuição):
- Massas atómicas aproximadas: carbono
, hidrogénio . Assim a massa da unidade é
- Convertendo para gramas usando
:
- O volume ocupado por essa unidade, usando
, seria
o que é apenas um cálculo ilustrativo (para obter o volume real da célula cristalina precisa-se das constantes de rede). - Massas atómicas aproximadas: carbono
Passo 6
Recapitulando de forma calma e amigável: a menor célula unitária da cadeia do polietileno é a unidade repetida
, logo tem um carbono e dois hidrogénios. Continua firme nos estudos — isto é um daqueles problemas em que a intuição química já resolve grande parte!
Resposta
Número de átomos de carbono:
Número de átomos de hidrogénio:
Número de átomos de hidrogénio: