Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por
e também calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, se ele existir. Para isso, vamos usar conceitos de sequência numérica, funções logarítmicas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da sequência:
. A função
é o logaritmo natural, que nos dá o expoente ao qual a base
(aproximadamente 2,718) deve ser elevada para obter o número dentro do logaritmo. Aqui, estamos aplicando o logaritmo ao inverso de
.
Passo 3
Vamos calcular o primeiro termo da sequência quando
:
Sabemos que
, porque
. Então,
.
Passo 4
Agora, para
:
O logaritmo de 0,5 é um número negativo, já que
. Então,
.
Passo 5
Para
:
Mais uma vez, o logaritmo de um número menor que 1 é negativo. Calculando, temos
.
Passo 6
E para
:
Calculando esse logaritmo, obtemos
.
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce sem limite conforme
aumenta, então
tende a menos infinito:
Portanto, o limite não existe no sentido de convergir para um número real; a sequência diverge para menos infinito.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são:
O limite da sequência quando
tende ao infinito é: