Pergunta: determinar o raio de convergência R dessa série de potências.
Passo 2
Fórmula que usamos (explicação didática):
Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n z^n (ou a partir de n=1), o raio de convergência R é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
O que isso significa, em palavras: primeiro olhamos como as raízes n-ésimas dos módulos dos coeficientes a_n se comportam quando n cresce; o limite superior dessa sequência determina, por essa fórmula, o inverso do raio R. Então nosso objetivo prático é calcular
Isso já deixa mais claro o comportamento para n grande: \cos(1/n)\to\cos(0)=1.
Passo 4
Analisar \sqrt[n]{|a_n|} usando o comportamento de a_n:
Como a_n=\cos(1/n) e \cos(1/n)\to1 quando n\to\infty, temos que os coeficientes tendem para um número positivo diferente de zero. Vou mostrar por que isso implica que \sqrt[n]{|a_n|}\to1.
Raciocínio detalhado (uma forma limpa e rigorosa): escrevemos
Portanto o limite (e, consequentemente, o limsup) é 1:
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}=1.
Comentário intuitivo curto: se os coeficientes tendem a um número positivo (aqui 1), suas raízes n-ésimas tendem a 1 — porque dividir o logaritmo desse número por n vai para zero.
Passo 5
Aplicar a fórmula do Passo 2 e concluir:
Usando a fórmula de Cauchy–Hadamard e o resultado do Passo 4,