Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{cosh} \left(\frac{i}{n}\right) z^{n}.
Resposta: R=1

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
Temos a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{cosh}\left(\frac{i}{n}\right) z^{n}.
O enunciado nos dá, para cada n\ge1, o coeficiente
a_n=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{i}{n}\right).
Pergunta: determinar o raio de convergência R dessa série de potências.

Passo 2

Fórmula que usamos (explicação didática):
Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n z^n (ou a partir de n=1), o raio de convergência R é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
O que isso significa, em palavras: primeiro olhamos como as raízes n-ésimas dos módulos dos coeficientes a_n se comportam quando n cresce; o limite superior dessa sequência determina, por essa fórmula, o inverso do raio R. Então nosso objetivo prático é calcular
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\operatorname{cosh}\!\left(\frac{i}{n}\right)\right|}.

Passo 3

Simplificar e entender os coeficientes a_n:
Vamos manipular \operatorname{cosh} com argumento imaginário. Lembre-se da definição exponencial:
\operatorname{cosh}(w)=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2}.
Aplicando com w=\dfrac{i}{n} e usando as fórmulas de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta e e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta, obtemos
\operatorname{cosh}\!\left(\frac{i}{n}\right)=\frac{e^{i/n}+e^{-i/n}}{2}=\frac{(\cos(1/n)+i\sin(1/n)) + (\cos(1/n)-i\sin(1/n))}{2}=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right).
Ou seja, de forma muito útil,
a_n=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{i}{n}\right)=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right).
Isso já deixa mais claro o comportamento para n grande: \cos(1/n)\to\cos(0)=1.

Passo 4

Analisar \sqrt[n]{|a_n|} usando o comportamento de a_n:
Como a_n=\cos(1/n) e \cos(1/n)\to1 quando n\to\infty, temos que os coeficientes tendem para um número positivo diferente de zero. Vou mostrar por que isso implica que \sqrt[n]{|a_n|}\to1.
Raciocínio detalhado (uma forma limpa e rigorosa): escrevemos
a_n=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right)=1+\varepsilon_n,
onde \varepsilon_n\to0. Para n grande, a_n>0 (pois \cos(1/n) é próximo de 1), então podemos tomar logaritmo. Note que
\ln\bigl|a_n\bigr|=\ln(1+\varepsilon_n).
Como \varepsilon_n\to0, temos a expansão (ou propriedade limitante)
\ln(1+\varepsilon_n)=\varepsilon_n+o(\varepsilon_n).
Além disso, para \cos(1/n) vale a expansão em série de Taylor clássico:
\cos\!\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{4}}\right),
logo \varepsilon_n= -\dfrac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\dfrac{1}{n^{4}}\right). Assim
\ln\bigl|a_n\bigr| = -\frac{1}{2n^{2}} + O\!\left(\frac{1}{n^{4}}\right).
Dividindo por n obtemos
\frac{\ln\bigl|a_n\bigr|}{n} = -\frac{1}{2n^{3}} + O\!\left(\frac{1}{n^{5}}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.
Então
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = e^{\frac{1}{n}\ln|a_n|} \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{0}=1.
Portanto o limite (e, consequentemente, o limsup) é 1:
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}=1.
Comentário intuitivo curto: se os coeficientes tendem a um número positivo (aqui 1), suas raízes n-ésimas tendem a 1 — porque dividir o logaritmo desse número por n vai para zero.

Passo 5

Aplicar a fórmula do Passo 2 e concluir:
Usando a fórmula de Cauchy–Hadamard e o resultado do Passo 4,
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

R=1

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