Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{n}} z^{n}.
Resposta: R=1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{n}} z^{n}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os coeficientes da série são a_{n}=e^{i \frac{\pi}{n}} para n\ge1.
  • A incógnita a determinar é o raio de convergência R dessa série de potências.

Passo 2

Vou usar uma fórmula padrão para achar o raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard. Ela diz:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}.
Explicando: \sqrt[n]{|a_{n}|} é a raiz n-ésima do módulo do coeficiente a_n. O operador \limsup significa o limite superior quando n\to\infty — intuitivamente, o valor que as \sqrt[n]{|a_n|} não ultrapassam no limite.

Passo 3

Calculo o módulo dos coeficientes a_n. Para qualquer ângulo \theta vale |e^{i\theta}|=1. Então, usando \theta=\frac{\pi}{n},
|a_{n}|=\left|e^{i\frac{\pi}{n}}\right|=1\quad\text{para todo }n.
Como |a_{n}|=1 para todo n, temos
\sqrt[n]{|a_{n}|}=\sqrt[n]{1}=1\quad\text{para todo }n.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard com o resultado do passo anterior:
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Como verificação alternativa e para entender intuitivamente: apliquei também o teste da raiz diretamente no termo geral da série. O termo geral em módulo é |e^{i\pi/n} z^{n}|=|e^{i\pi/n}|\;|z|^{n}=1\cdot|z|^{n}. Tomando raiz n-ésima,
\sqrt[n]{|e^{i\pi/n} z^{n}|}=|z|.
Pelo teste da raiz, a série converge se |z|<1 e diverge se |z|>1. Isso confirma que o raio de convergência é 1.

Passo 6

Observação rápida (não necessária para o raio): o comportamento na fronteira |z|=1 precisa de análise adicional termo a termo (pode convergir em alguns pontos e divergir em outros), mas isso não altera o raio R.

Resposta

R=1

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