Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(-4)^{n}}.

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(-4)^{n}}
e pede o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da raiz (Cauchy).

Passo 2

Seja o termo geral
t_{n} = \frac{x^{2n+1}}{(-4)^{n}}.
Pelo Teste da raiz, a série converge se
\lim_{n\to\infty} \bigl|t_{n}\bigr|^{1/n} < 1.

Passo 3

Calculamos
\bigl|t_{n}\bigr|^{1/n} = \left|\frac{x^{2n+1}}{(-4)^{n}}\right|^{1/n} = \frac{|x|^{(2n+1)/n}}{4} = \frac{|x|^{2}\,\bigl|x\bigr|^{1/n}}{4}.
Como \lim_{n\to\infty}|x|^{1/n}=1, fica
\lim_{n\to\infty}\bigl|t_{n}\bigr|^{1/n} = \frac{|x|^{2}}{4}.
Para convergir, exigimos \tfrac{|x|^{2}}{4}<1, ou seja |x|^{2}<4.

Passo 4

A condição |x|^{2}<4 equivale a |x|<2. Portanto, o raio de convergência é

Resposta

R = 2.

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