Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
O conteúdo é raio de convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
a_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\Bigr|.

Passo 3

Substituindo a_{n+1} e a_n, obtemos
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\frac{|x|^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}\,\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}} =\frac{|x|^2}{(2n+1)(2n)}.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{(2n+1)(2n)}=0.

Passo 4

Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para qualquer valor de x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é R=\infty.

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