Determine o raio de convergência da da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x_{0}, dado
\left(1+x^{3}\right) y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+y=0, x_{0}=0 e x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência das soluções em série da equação
(1+x^3)\,y''+4x\,y'+y=0
em torno de x_{0}=0 e de x_{0}=2.
O truque é usar a teoria de séries de potências: o raio de convergência em torno de um ponto x_{0} é a distância até o singular mais próximo, isto é, até a raiz de 1+x^3=0.

Passo 2

Encontramos os pontos singulares resolvendo
1+x^3=0\quad\Longrightarrow\quad x^3=-1
As raízes complexas são
x_k = e^{i\frac{\pi+2\pi k}{3}},\quad k=0,1,2
ou seja
x_{1}=-1,\quad x_{2}=e^{i\pi/3}=\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2},\quad x_{3}=e^{i5\pi/3}=\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 3

Para x_{0}=0, calculamos as distâncias até esses pontos:
|0-(-1)|=1, \qquad \bigl|0-e^{i\pi/3}\bigr|=1, \qquad \bigl|0-e^{i5\pi/3}\bigr|=1.
O menor valor é 1, logo o raio de convergência em torno de 0 é
R(0)=1.

Passo 4

Para x_{0}=2, as distâncias são
|2-(-1)|=3, \qquad \bigl|2-e^{i\pi/3}\bigr| =\sqrt{\bigl(2-\tfrac12\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}} =\sqrt{3},
e o mesmo vale para 2-e^{i5\pi/3}.
O menor valor é \sqrt{3}, logo
R(2)=\sqrt{3}.

Resposta

O raio de convergência em torno de x_{0}=0 é 1 e, em torno de x_{0}=2, é \sqrt{3}.

Exercícios relacionados