Determine o raio crítico da ponta do defeito de um material cerâmico ( E=69 GPa ) que fratura ao aplicar uma tensão de 70 MPa . Considere uma fenda com 10^-2 mm e uma tensão à fratura teórica de E/10.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar o raio crítico na ponta de um defeito em um material cerâmico. O material tem um módulo de elasticidade (E) de 69 GPa e está sofrendo uma tensão de 70 MPa até fraturar. A gente também sabe que há uma fenda com tamanho de 10^-2 mm e uma tensão à fratura teórica de $ \frac{E}{10} $. Vamos usar conceitos de mecânica da fratura para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio crítico. Ele representa o tamanho mínimo da ponta do defeito a partir do qual a fratura vai se propagar. Para calcular isso, vamos usar a fórmula que relaciona a energia de tensão com a energia de superfície necessária para formar a nova superfície de fratura.

Passo 3

A fórmula utilizada para encontrar o raio crítico ($ r_c $) é:
rc
Onde:
  • $ \sigma $ é a tensão aplicada (70 MPa),
  • $ E $ é o módulo de elasticidade (69 GPa),
  • $ \gamma $ é a energia de superfície por unidade de área.
No entanto, como a tensão à fratura teórica é $ \frac{E}{10} $, podemos relacionar a energia de superfície com essa informação.

Passo 4

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ r_c $:
rc
Mas como não temos diretamente $ \gamma $, vamos considerar que a energia de superfície está relacionada com a tensão à fratura teórica. Para simplificar, vamos assumir que $ \gamma $ é proporcional a $ \frac{E}{10} $.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
rc = 69 times 10^3 , MPa cdot 69 times 10^3 , MPa10pi times (70 , MPa)^2
Convertendo GPa para MPa (1 GPa = 1000 MPa):
rc = 69 times 10^3 times 6,9 times 10^3pi times 4900

Passo 6

Calculando os valores:
rc = 4,761 times 10^81,54 times 10^4 approx 3,09 times 10^4 , mm

Resposta

O raio crítico da ponta do defeito é aproximadamente 3,09 times 10^4 mm.

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