As paredes de um grande sino, após uma badalada, vibram e emitem uma energia total (
) que varia em função do tempo. Na tabela abaixo estão listados alguns valores medidos de energia total e tempo.
Tabela 1 - Medidas experimentais da energia em Joules (
) e tempo em segundos (s).
Tabela 1 - Medidas experimentais da energia em Joules (
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0,015000 | 0,005930 | 0,002340 | 0,000916 | 0,000360 |
---|---|---|---|---|---|
|
4,00 | 6,00 | 8,00 | 10,00 | 12,00 |
Teoricamente, espera-se que a equação que relaciona a energia total emitida no tempo seja dada pela expressão:
Onde
é a energia inicial para
e
é a constante de tempo.
Construa uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados da tabela 1.
Construa uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados da tabela 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre as vibrações das paredes de um sino que, após uma badalada, emitem energia ao longo do tempo. Temos uma tabela com valores de energia total (
) em Joules e o tempo (
) em segundos. A gente sabe que a relação teórica entre energia e tempo é dada por uma função exponencial:
Onde:
-
é a energia inicial quando . -
é a constante de tempo.
O objetivo aqui é construir uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados que já temos. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa função exponencial em uma forma linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa linearizar uma função. Linearizar é transformar uma relação não linear em uma relação linear, facilitando a análise, como por exemplo, encontrar uma reta que se ajusta aos dados. No nosso caso, temos uma função exponencial, então vamos usar o logaritmo natural para transformar essa equação.
Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação original:
Agora, a equação está na forma de uma reta:
, onde:
Isso significa que, se plotarmos
em função de
, teremos uma linha reta, e podemos usar isso para analisar nossos dados experimentais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa transformação aos dados da tabela original. Vamos calcular o logaritmo natural da energia (
) para cada valor de
que temos. Isso vai nos dar uma nova coluna de valores que vamos usar para construir a nova tabela.
Vamos fazer os cálculos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Com esses valores calculados, vamos montar a nova tabela que relaciona
com o tempo
. Essa tabela vai nos ajudar a visualizar a relação linear entre esses dois parâmetros.
A nova tabela fica assim:
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---|---|---|
4,00 | 0,015000 | -4,1997 |
6,00 | 0,005930 | -5,1291 |
8,00 | 0,002340 | -6,0571 |
10,00 | 0,000916 | -7,0001 |
12,00 | 0,000360 | -7,927 |
Passo 5
Agora que temos a nova tabela com
em função de
, podemos usar essa relação linearizada para analisar os dados. Se fizermos um gráfico de
versus
, esperamos obter uma reta cujo coeficiente angular nos dará a constante de tempo
e a interceptação no eixo vertical nos dará
.
Isso facilita bastante na hora de interpretar os resultados experimentais e comparar com a teoria.
Resposta
A nova tabela com os valores de
aplicados aos dados experimentais é:
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---|---|---|
4,00 | 0,015000 | -4,1997 |
6,00 | 0,005930 | -5,1291 |
8,00 | 0,002340 | -6,0571 |
10,00 | 0,000916 | -7,0001 |
12,00 | 0,000360 | -7,927 |