As paredes de um grande sino, após uma badalada, vibram e emitem uma energia total ( E) que varia em função do tempo. Na tabela abaixo estão listados alguns valores medidos de energia total e tempo.
Tabela 1 - Medidas experimentais da energia em Joules ( J) e tempo em segundos (s).
E(J) 0,015000 0,005930 0,002340 0,000916 0,000360
t(s) 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Teoricamente, espera-se que a equação que relaciona a energia total emitida no tempo seja dada pela expressão:
E=E0 e^-(ttc)
Onde Eo é a energia inicial para t=0 e tc é a constante de tempo.
Construa uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados da tabela 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre as vibrações das paredes de um sino que, após uma badalada, emitem energia ao longo do tempo. Temos uma tabela com valores de energia total ( E) em Joules e o tempo ( t) em segundos. A gente sabe que a relação teórica entre energia e tempo é dada por uma função exponencial:
E = E0 e^-(ttc)
Onde:
  • E0 é a energia inicial quando t = 0.
  • tc é a constante de tempo.
O objetivo aqui é construir uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados que já temos. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa função exponencial em uma forma linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa linearizar uma função. Linearizar é transformar uma relação não linear em uma relação linear, facilitando a análise, como por exemplo, encontrar uma reta que se ajusta aos dados. No nosso caso, temos uma função exponencial, então vamos usar o logaritmo natural para transformar essa equação.
Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação original:
ln E = ln E0 - ttc
Agora, a equação está na forma de uma reta: y = mx + b, onde:
  • y = ln E
  • x = t
  • m = -1tc
  • b = ln E0
Isso significa que, se plotarmos ln E em função de t, teremos uma linha reta, e podemos usar isso para analisar nossos dados experimentais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa transformação aos dados da tabela original. Vamos calcular o logaritmo natural da energia ( ln E) para cada valor de E que temos. Isso vai nos dar uma nova coluna de valores que vamos usar para construir a nova tabela.
Vamos fazer os cálculos:
  1. Para E = 0,015000, J:
    ln(0,015000) approx -4,1997
  2. Para E = 0,005930, J:
    ln(0,005930) approx -5,1291
  3. Para E = 0,002340, J:
    ln(0,002340) approx -6,0571
  4. Para E = 0,000916, J:
    ln(0,000916) approx -7,0001
  5. Para E = 0,000360, J:
    ln(0,000360) approx -7,927

Passo 4

Com esses valores calculados, vamos montar a nova tabela que relaciona ln E com o tempo t. Essa tabela vai nos ajudar a visualizar a relação linear entre esses dois parâmetros.
A nova tabela fica assim:
t(s) E(J) ln E
4,00 0,015000 -4,1997
6,00 0,005930 -5,1291
8,00 0,002340 -6,0571
10,00 0,000916 -7,0001
12,00 0,000360 -7,927

Passo 5

Agora que temos a nova tabela com ln E em função de t, podemos usar essa relação linearizada para analisar os dados. Se fizermos um gráfico de ln E versus t, esperamos obter uma reta cujo coeficiente angular nos dará a constante de tempo tc e a interceptação no eixo vertical nos dará ln E0.
Isso facilita bastante na hora de interpretar os resultados experimentais e comparar com a teoria.

Resposta

A nova tabela com os valores de ln E aplicados aos dados experimentais é:
t(s) E(J) ln E
4,00 0,015000 -4,1997
6,00 0,005930 -5,1291
8,00 0,002340 -6,0571
10,00 0,000916 -7,0001
12,00 0,000360 -7,927

Exercícios relacionados