Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente determinar o raio e o intervalo de convergência da série
. A matéria que vamos precisar aqui é de séries de potências, especificamente sobre testes de convergência como o de razão ou raiz. Vamos identificar os coeficientes da série e aplicar um teste para achar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a série:
. Podemos ver que os coeficientes alternam entre 1 e 2 dependendo do expoente de
. Ou seja, para cada termo
, o coeficiente
é 1 se
é par e 2 se
é ímpar.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz, que nos diz que o raio
é dado por:
Nesse caso, nossos coeficientes
alternam entre 1 e 2, então o
será
.
Passo 4
Calculando o limite:
Portanto,
O raio de convergência é 1.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para
, ou seja,
. Mas precisamos verificar o que acontece quando
, ou seja, nos pontos
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos testar
:
Essa série é infinita e não tende a um limite finito, ou seja, diverge.
Passo 7
Agora, testamos
:
Essa também não converge para um valor finito, pois os termos não se estabilizam.
Resposta
O raio de convergência da série é
e o intervalo de convergência é
.