Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries: 1 + 2*x + x^2 + 2*x^3 + x^4 + ...

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente determinar o raio e o intervalo de convergência da série . A matéria que vamos precisar aqui é de séries de potências, especificamente sobre testes de convergência como o de razão ou raiz. Vamos identificar os coeficientes da série e aplicar um teste para achar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série: . Podemos ver que os coeficientes alternam entre 1 e 2 dependendo do expoente de . Ou seja, para cada termo , o coeficiente é 1 se é par e 2 se é ímpar.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz, que nos diz que o raio é dado por:
Nesse caso, nossos coeficientes alternam entre 1 e 2, então o será .

Passo 4

Calculando o limite:
Portanto,
O raio de convergência é 1.

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para , ou seja, . Mas precisamos verificar o que acontece quando , ou seja, nos pontos e .

Passo 6

Primeiro, vamos testar :
Essa série é infinita e não tende a um limite finito, ou seja, diverge.

Passo 7

Agora, testamos :
Essa também não converge para um valor finito, pois os termos não se estabilizam.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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