Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, e para resolver vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite do comportamento geral dos termos da série à medida que cresce. A fórmula do teste da razão é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não conclui.
Passo 3
Vamos identificar an = x^n3^n(n^2+1) na nossa série:
an+1 = x^n+13^n+1((n+1)^2+1)
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, aplicamos o teste da razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^n+13^n+1((n+1)^2+1)x^n3^n(n^2+1) |
Simplificando a expressão:
L = limn to infty | x cdot 3^n3^n+1 cdot n^2+1(n+1)^2+1 | = limn to infty | x3 cdot n^2+1(n+1)^2+1 |
Passo 5
Simplificamos a fração:
n^2+1(n+1)^2+1 = n^2+1n^2+2n+2
Dividindo numerador e denominador por 1 + 1n^21 + 2n + 2n^2 :
11 = 1
À medida que tende ao infinito, os termos , e vão a zero, então a fração se aproxima de:
Passo 6
Então, o limite fica:
L = | x3 |
Para que a série convirja, precisamos que | x3 | < 1 implies |x| < 3 :
Isso significa que o raio de convergência é 3.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que o raio é 3, então o intervalo básico é:
-3 < x < 3
Precisamos verificar os extremos sumn=0^infty 3^n3^n(n^2+1) = sumn=0^infty 1n^2+1 e sumn=0^infty (-3)^n3^n(n^2+1) = sumn=0^infty (-1)^nn^2+1 .
Para :
Essa série converge porque é uma série p com .
Para :
Essa também converge pela série alternada, já que os termos tendem a zero e diminuem de forma monotônica.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .