Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
8. sumn=1^infty n^3 x^n4^n

Passo 1

Beleza, a gente tem que analisar a série de potências sumn=1^infty n^3 x^n4^n. O conteúdo aqui envolve séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para descobrir o raio de convergência e a região de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge. O teste diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente.

Passo 3

Aqui, an+1 = (n+1)^3 x^n+14^n+1 = (n+1)^3 x cdot x^n4 cdot 4^n = (n+1)^3 x4 cdot x^n4^n . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an = (n+1)^3 x4 cdot 4^nn^3 x^n = (n+1)^3n^3 cdot x4 :

Passo 5

Simplificando a expressão:
(n+1)^3n^3 = (1 + 1n)^3
Quando L = limn to infty | (n+1)^3n^3 cdot x4 | = | x4 | tende ao infinito, tende a 1. Então, o limite fica:

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que | x4 | < 1 Rightarrow |x| < 4 :

Passo 7

Isso significa que o raio de convergência é 4. A região de convergência é todos os tais que , ou seja, .

Resposta

O raio de convergência é e a região de convergência é .

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