Determine as raízes das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as raízes da equação quadrática dada. Informações fornecidas:
- A equação é
. - A incógnita é
.
O que precisa ser encontrado: - Todos os valores de
que tornam verdadeira a igualdade.
Passo 2
Observando a expressão
, percebo que há um fator comum em todos os termos: o próprio
. Vou extrair esse fator comum. Explicação do que é fator comum: quando dois termos têm um mesmo multiplicador (aqui
), podemos escrevê-los como esse multiplicador vezes a soma dos restos. Esse passo simplifica a equação e facilita achar as raízes.
Passo 3
Extraindo o fator comum
de
obtenho:
Verificação rápida por distributiva (para conferir que a fatoração está certa):
e
, então a igualdade está correta.
Passo 4
Agora uso a propriedade do produto nulo (zero): se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos: se
então
ou
. Essa propriedade vale para números reais e é a base para resolver equações fatoradas.
Aplicando aqui a
, temos duas possibilidades:
-
. -
.
Passo 5
Resolvo a segunda equação
. Passo a passo:
Passo 6
Faço uma verificação substituindo as soluções na equação original para garantir que estão corretas.
Para
:
logo satisfaz a equação.
Para
:
logo também satisfaz a equação.
Passo 7
(Bônus: método alternativo — fórmula de Bhaskara — para aprendizado)
A fórmula quadrática geral é
A fórmula quadrática geral é
onde em uma equação
os coeficientes são
,
e
.
Aqui ,
,
. Calculando o discriminante:
Aqui
Logo
o que dá
e
, mesmo resultado obtido antes.