Determine as raízes das equações abaixo:
5 x^{2}-x=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação quadrática dada. Informações fornecidas:
  • A equação é 5x^{2}-x=0.
  • A incógnita é x.
    O que precisa ser encontrado:
  • Todos os valores de x que tornam verdadeira a igualdade.

Passo 2

Observando a expressão 5x^{2}-x, percebo que há um fator comum em todos os termos: o próprio x. Vou extrair esse fator comum. Explicação do que é fator comum: quando dois termos têm um mesmo multiplicador (aqui x), podemos escrevê-los como esse multiplicador vezes a soma dos restos. Esse passo simplifica a equação e facilita achar as raízes.

Passo 3

Extraindo o fator comum x de 5x^{2}-x obtenho:
5x^{2}-x = x\,(5x-1).
Verificação rápida por distributiva (para conferir que a fatoração está certa): x\cdot 5x = 5x^{2} e x\cdot(-1) = -x, então a igualdade está correta.

Passo 4

Agora uso a propriedade do produto nulo (zero): se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos: se A\cdot B=0 então A=0 ou B=0. Essa propriedade vale para números reais e é a base para resolver equações fatoradas.
Aplicando aqui a x\,(5x-1)=0, temos duas possibilidades:
  1. x=0.
  2. 5x-1=0.

Passo 5

Resolvo a segunda equação 5x-1=0. Passo a passo:
5x-1=0 \quad\Rightarrow\quad 5x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{5}.

Passo 6

Faço uma verificação substituindo as soluções na equação original para garantir que estão corretas.
Para x=0:
5(0)^{2}-0 = 0-0 = 0,
logo satisfaz a equação.
Para x=\dfrac{1}{5}:
5\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2} - \dfrac{1}{5} = 5\cdot \dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{25} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5} = 0,
logo também satisfaz a equação.

Passo 7

(Bônus: método alternativo — fórmula de Bhaskara — para aprendizado)
A fórmula quadrática geral é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde em uma equação ax^{2}+bx+c=0 os coeficientes são a, b e c.
Aqui a=5, b=-1, c=0. Calculando o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot5\cdot0 = 1.
Logo
x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{1}}{2\cdot5}=\frac{1\pm1}{10},
o que dá x=\dfrac{0}{10}=0 e x=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}, mesmo resultado obtido antes.

Resposta

x=0
x=\dfrac{1}{5}

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