Determine as raízes das equações abaixo:
\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}-5=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação quadrática
\mathrm{x}^{2}-3\mathrm{x}-5=0.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • Coeficiente a (do termo \mathrm{x}^2) é a=1.
  • Coeficiente b (do termo \mathrm{x}) é b=-3.
  • Termo constante c é c=-5.
O objetivo é encontrar todos os valores de \mathrm{x} que satisfazem a equação acima (as raízes).

Passo 2

Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para resolver. A fórmula é:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando a fórmula e cada termo:
  • a, b, c são os coeficientes da equação ax^{2}+bx+c=0.
  • x é a incógnita que queremos achar (as raízes).
  • A expressão dentro da raiz, \Delta = b^{2}-4ac, chama-se discriminante e determina o tipo de raízes:
    • Se \Delta>0: duas raízes reais e distintas.
    • Se \Delta=0: uma raiz real dupla (repetida).
    • Se \Delta<0: duas raízes complexas conjugadas.
      Na prova, aplicar a fórmula é padrão e rápido: calcular primeiro \Delta, depois substituir em \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.

Passo 3

Calcular o discriminante com os coeficientes identificados no Passo 1:
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot(-5).
Agora as contas passo a passo:
(-3)^{2}=9, \qquad 4\cdot 1\cdot(-5)=-20.
Portanto
\Delta = 9 - (-20) = 9 + 20 = 29.
Como \Delta=29>0, a equação tem duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Calcular as partes da fórmula para substituir:
-b = -(-3)=3, \qquad \sqrt{\Delta}=\sqrt{29}, \qquad 2a=2\cdot 1=2.
Substituindo essas partes na fórmula x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} obtém-se as duas raízes exatas (veja a seção de resposta para as expressões finais). Como checagem numérica rápida (opcional): \sqrt{29}\approx 5{,}385, então as raízes aproximadas seriam cerca de 4{,}1925 e -1{,}1925.

Resposta

x=\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}
x=\dfrac{3-\sqrt{29}}{2}

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