Determine as raízes das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes da equação
Informações dadas:
- A equação é polinomial de segundo grau (coeficiente de
é ). - Não há termos em
nem termo independente além do zero.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica: como
, posso dividir ambos os lados da equação por
sem alterar as soluções. Isso simplifica a equação:
Breve explicação didática: dividir por um número não nulo é válido porque mantém a igualdade; é uma operação reversível.
Passo 3
Resolver
. Duas maneiras equivalentes de pensar:
- Tirando raiz quadrada:
dá , logo . - Pela propriedade do produto nulo: escrever
. Se um produto de fatores é zero, pelo princípio do produto nulo pelo menos um fator é zero; aqui os fatores são iguais, então .
Observação didática: normalmente ao resolver
obtemos
. No caso
temos
(o mais e o menos coincidem).
Passo 4
Discussão sobre multiplicidade (útil na prova): o polinômio pode ser escrito como
portanto a raiz
tem multiplicidade
(é uma raiz dupla). Isso significa que, contando multiplicidade, existem duas raízes iguais; mas como valor distinto, há apenas
.
Passo 5
Verificação rápida: substituir
na equação original:
logo a solução está correta.