Determine as raízes das equações.
\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{6}=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação. A informação dada é a própria equação:
\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{6}=0.
Ou seja: encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar frações para simplificar os cálculos. Multiplica-se ambos os lados da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores. Os denominadores são 3 e 6, cujo m.m.c. é 6. Multiplicando ambos os lados por 6 obtemos:
6\left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{6}\right)=6\cdot 0.

Passo 3

Distribuindo o 6 dentro do parêntese:
6\cdot\frac{x^{2}}{3}-6\cdot\frac{x}{6}=0.
Agora calcule cada termo: 6\cdot\frac{x^{2}}{3}=2x^{2} e 6\cdot\frac{x}{6}=x. Portanto a equação simplificada é
2x^{2}-x=0.

Passo 4

Para resolver 2x^{2}-x=0 use o fato de que ambos os termos têm um fator comum x. Ao fatorar x obtemos:
x\left(2x-1\right)=0.
Aqui entra o princípio fundamental usado nesses casos: a propriedade do produto nulo (ou zero-product property): se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos, se A\cdot B=0 então A=0 ou B=0.

Passo 5

Aplicando a propriedade do produto nulo aos fatores x e 2x-1:
  • Se x=0, então temos uma raiz x=0.
  • Se 2x-1=0, então resolvendo para x: 2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}.
Portanto as soluções candidatas são x=0 e x=\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir na equação original):
  • Para x=0: \dfrac{0^{2}}{3}-\dfrac{0}{6}=0-0=0. Ok.
  • Para x=\dfrac{1}{2}: calcular \frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}{3}-\frac{\tfrac{1}{2}}{6} =\frac{\tfrac{1}{4}}{3}-\frac{\tfrac{1}{2}}{6} =\frac{1}{12}-\frac{1}{12}=0.
Ambos satisfazem a equação, logo são as raízes corretas.

Resposta

x=0
x=\dfrac{1}{2}

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