Determine as raízes das equações.
x^{2}=-7 x

Passo 1

O enunciado fornece a equação
x^{2}=-7x
e pede para determinar as raízes (os valores de x que tornam a igualdade verdadeira). Informação relevante: trata-se de uma equação polinomial (quadrática) em x.

Passo 2

Colocar todos os termos no mesmo lado da igualdade para trabalhar com um polinômio igual a zero. Subtrai-se -7x de ambos os lados:
x^{2}+7x=0.

Passo 3

Fatorar o polinômio à esquerda. Procuramos fator comum em x^{2}+7x. Ambos os termos têm um fator x, então:
x^{2}+7x = x(x+7).
Explicação didática: fatorar é escrever uma soma de termos como produto de fatores. Aqui, ao “tirar” o x em comum, reduzimos a equação a um produto igual a zero.

Passo 4

Aplicar a propriedade do produto nulo: se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, de
x(x+7)=0
segue que
x=0 \quad\text{ou}\quad x+7=0.
Da segunda igualdade obtemos
x=-7.

Passo 5

Verificar as soluções substituindo de volta na equação original x^{2}=-7x.
  • Para x=0:
\text{LHS}=0^{2}=0,\qquad \text{RHS}=-7\cdot 0=0,
logo 0=0 (valida).
  • Para x=-7:
\text{LHS}=(-7)^{2}=49,\qquad \text{RHS}=-7\cdot(-7)=49,
logo 49=49 (valida).

Passo 6

(Alternativa didática) Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para checar: para a equação ax^{2}+bx+c=0 vale
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui temos a=1, b=7, c=0. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=7^{2}-4\cdot1\cdot0=49.
Portanto
x=\frac{-7\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-7\pm7}{2},
que dá x=0 e x=-7, confirmando o resultado obtido por fatoração.

Resposta

x=0
x=-7

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