Determine as raízes das equações.
2 x-\sqrt{2} x^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes da equação
2x - \sqrt{2}\,x^{2} = 0.
Informações dadas:
  • A equação é uma expressão polinomial em x (grau 2) com coeficiente envolvendo \sqrt{2}.
  • A pergunta é: quais são os valores de x que tornam a expressão igual a zero (ou seja, as raízes/soluções da equação)?

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando uma expressão é do tipo soma ou diferença de termos que têm um fator comum, é muito útil fazer fatoração por fator comum. Depois de fatorar, usa-se a propriedade do produto nulo (zero-product property), que diz:
\text{se } A\cdot B = 0 \text{ então } A = 0 \text{ ou } B = 0.ã
Essa propriedade é simples: o único modo de um produto ser zero (no conjunto dos números reais) é se pelo menos um dos fatores for zero. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Fatorando a expressão por x: ambos os termos 2x e \sqrt{2}\,x^{2} têm x em comum. Retirando x em evidência:
2x - \sqrt{2}\,x^{2} = x\bigl(2 - \sqrt{2}\,x\bigr).
Detalhe da fatoração: x\cdot 2 = 2x e x\cdot(\sqrt{2}\,x)=\sqrt{2}\,x^{2}, portanto a fatoração está correta.

Passo 4

Aplicando a propriedade do produto nulo à igualdade
x\bigl(2 - \sqrt{2}\,x\bigr) = 0,
temos as duas possibilidades:
\text{(i)}\quad x = 0, \qquad \text{ou} \qquad \text{(ii)}\quad 2 - \sqrt{2}\,x = 0.

Passo 5

Resolver a segunda possibilidade \;2 - \sqrt{2}\,x = 0\;:
\sqrt{2}\,x = 2
x = \frac{2}{\sqrt{2}}.
Agora simplificar \dfrac{2}{\sqrt{2}}. Uma forma segura é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
Então a segunda solução é x = \sqrt{2}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir nas duas soluções para confirmar que dão zero):
  • Para x=0:
2\cdot 0 - \sqrt{2}\cdot 0^{2} = 0.
  • Para x=\sqrt{2}:
2\sqrt{2} - \sqrt{2}\,(\sqrt{2})^{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0.
Ambas anulam a expressão, logo são realmente raízes.

Resposta

x=0
x=\sqrt{2}

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