Determine as raízes das equações.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as raízes da equação
Informações dadas:
- A equação é uma expressão polinomial em
(grau 2) com coeficiente envolvendo . - A pergunta é: quais são os valores de
que tornam a expressão igual a zero (ou seja, as raízes/soluções da equação)?
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando uma expressão é do tipo soma ou diferença de termos que têm um fator comum, é muito útil fazer fatoração por fator comum. Depois de fatorar, usa-se a propriedade do produto nulo (zero-product property), que diz:
Essa propriedade é simples: o único modo de um produto ser zero (no conjunto dos números reais) é se pelo menos um dos fatores for zero. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Fatorando a expressão por
: ambos os termos
e
têm
em comum. Retirando
em evidência:
Detalhe da fatoração:
e
, portanto a fatoração está correta.
Passo 4
Aplicando a propriedade do produto nulo à igualdade
temos as duas possibilidades:
Passo 5
Resolver a segunda possibilidade
:
Agora simplificar
. Uma forma segura é multiplicar numerador e denominador por
:
Então a segunda solução é
.
Passo 6
Verificação rápida (substituir nas duas soluções para confirmar que dão zero):
- Para
:
- Para
:
Ambas anulam a expressão, logo são realmente raízes.