Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=2 x^{5}-5 x^{3}-3 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^{5}-5x^{3}-3x^{2}
e pede as raízes racionais e a fatoração em fatores lineares sempre que possível. O conteúdo aqui é o Teorema das raízes racionais (candidatos divisores do termo independente sobre divisores do coeficiente líder) e fator comum em polinômios.

Passo 2

Primeiro, percebemos que todos os termos têm fator comum x^{2}. Logo,
f(x)=x^{2}\bigl(2x^{3}-5x-3\bigr).

Passo 3

Agora buscamos raízes racionais de g(x)=2x^{3}-5x-3. Pelas raízes racionais candidatas, temos
\pm1,\;\pm3,\;\pm\frac12,\;\pm\frac32.
Testando x=-1:
g(-1)=2(-1)^{3}-5(-1)-3=-2+5-3=0,
logo x=-1 é raiz. Portanto
g(x)=(x+1)\,h(x)
e dividindo 2x^{3}-5x-3 por x+1 obtemos
h(x)=2x^{2}-2x-3.

Passo 4

Para fatorar h(x)=2x^{2}-2x-3 verificamos o discriminante:
\Delta=(-2)^{2}-4\cdot2\cdot(-3)=4+24=28.
Como \Delta=28 não é quadrado perfeito, as raízes são irracionais
x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{1\pm\sqrt7}{2},
e não podemos escrever h(x) como produto de fatores lineares com coeficientes racionais.

Resposta

As raízes racionais de f são
x=0\quad(\text{multiplicidade }2) \quad\text{e}\quad x=-1.
A fatoração de f(x) sobre \mathbb Q é
f(x)=x^{2}(x+1)\bigl(2x^{2}-2x-3\bigr).

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