Determine as raízes racionais de f(x) e, sempre que possível, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:
f(x)=4 x^{3}-16 x^{2}+11 x+10

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes racionais do polinômio
f(x)=4x^{3}-16x^{2}+11x+10
e, sempre que possível, escrevê-lo como produto de fatores lineares.
Aqui vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para encontrar candidatos x=\tfrac p q e depois fatorar o polinômio.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, todo candidato \tfrac p q satisfaz:
p é divisor de 10 (termos constantes \pm1,\pm2,\pm5,\pm10),
q é divisor de 4 (coeficiente líder \pm1,\pm2,\pm4).
Logo os candidatos são
\pm1,\;\pm2,\;\pm5,\;\pm10,\;\pm\tfrac12,\;\pm\tfrac54,\;\pm\tfrac52,\;\pm\tfrac14.

Passo 3

Testamos alguns valores simples. Por exemplo,
f(2)=4\cdot2^{3}-16\cdot2^{2}+11\cdot2+10 =32-64+22+10=0.
Logo x=2 é raiz.

Passo 4

Fatoramos f(x) por divisão sintética ou tradicional por (x-2). Coeficientes de f: 4,\,-16,\;11,\;10.
Aplicando divisão sintética com 2:
4 | –16 | 11 |  108  | –16 | –10

4 | –8  | –5 | 0
O quociente é 4x^{2}-8x-5.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática
4x^{2}-8x-5=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot4\cdot(-5)}}{2\cdot4} =\frac{8\pm\sqrt{64+80}}{8} =\frac{8\pm12}{8}.
Isso dá as raízes
x=\frac{8+12}{8}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}, \quad x=\frac{8-12}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac12.

Passo 6

Reunindo, as raízes racionais são
x=2,\quad x=\frac{5}{2},\quad x=-\frac12.
Logo podemos escrever
f(x)=4(x-2)\Bigl(x-\tfrac{5}{2}\Bigr)\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr).
Se quisermos absorver o 4 nos fatores lineares:
4\Bigl(x-\tfrac{5}{2}\Bigr)\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr) =(2x-5)(2x+1),
portanto
f(x)=(x-2)(2x-5)(2x+1).

Resposta

As raízes racionais são
x=2,\quad x=\frac{5}{2},\quad x=-\frac12
e a fatoração em fatores lineares é
f(x)=(x-2)(2x-5)(2x+1).

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