Determine em \Re a solução da equação \left|\begin{array}{ccc}2 & x & x \\\\ -1 & -2 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|=8-\log _{2} 4.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as soluções reais de uma equação em que aparece o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 2 & x & x\\\\ -1 & -2 & -1\\\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
igual a 8 - \log_{2}4. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Vamos simplificar o lado direito usando a propriedade \log_{2}4=2, pois 4=2^2. Logo,
8 - \log_{2}4 = 8 - 2 = 6.

Passo 3

Agora calculamos o determinante em função de x. Usando a expansão pela primeira linha:
\det = 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1\\\\ 1 & 2 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1\\\\ 3 & 2 \end{vmatrix} + x \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2\\\\ 3 & 1 \end{vmatrix}.
Cada menor fica:
\begin{vmatrix} -2 & -1\\\\ 1 & 2 \end{vmatrix} =(-2)\cdot2 - (-1)\cdot1 = -4 +1 = -3,
\begin{vmatrix} -1 & -1\\\\ 3 & 2 \end{vmatrix} =(-1)\cdot2 - (-1)\cdot3 = -2 +3 = 1,
\begin{vmatrix} -1 & -2\\\\ 3 & 1 \end{vmatrix} =(-1)\cdot1 - (-2)\cdot3 = -1 +6 = 5.
Substituindo:
\det = 2\cdot(-3) \;-\; x\cdot1 \;+\; x\cdot5 = -6 - x +5x = -6 +4x.

Passo 4

Igualamos o determinante a 6:
-6 +4x = 6.
Somando 6 em ambos os lados e dividindo por 4, vem
4x = 12 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

x=3

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