Seja A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right). Calcule os valores de \lambda ( \lambda real) tais que o determinante da matriz A^{2}-\lambda I_{2} seja igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de \lambda tais que
\det\bigl(A^2 - \lambda I_2\bigr)=0,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}
É conteúdo de multiplicação de matrizes, formação de A^2 e cálculo de determinante.]

Passo 2

Calcular A^2 aplicando definição de produto de matrizes:
A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot1+1\cdot1\\[6pt]1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot1+1\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2\\[3pt]2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Formar a matriz A^2 - \lambda I_2 subtraindo \lambda nos elementos da diagonal:
A^2 - \lambda I_2 = \begin{pmatrix}2 & 2\\[3pt]2 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0\\[3pt]0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-\lambda & 2\\[3pt]2 & 2-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante e igualar a zero:
\det\!\bigl(A^2-\lambda I_2\bigr) = (2-\lambda)^2 - (2)(2) = (2-\lambda)^2 - 4
Queremos
(2-\lambda)^2 - 4 = 0.

Passo 5

Resolver a equação:
(2-\lambda)^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2-\lambda = \pm 2.
Se 2-\lambda=2 então \lambda=0.
Se 2-\lambda=-2 então \lambda=4.

Resposta

Os valores de \lambda são 0 e 4.

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