Determine a região
para a qual a integral tripla
é máxima. Calcule o valor desta da integral.
Passo 1
O enunciado pede pra achar a região E que maximiza a integral tripla de
e depois calcular esse valor. O conteúdo envolvido é otimização de domínio de integração e uso de coordenadas esféricas para avaliar a integral.
Passo 2
Note que a função integranda
, onde
, é positiva para
e negativa para
. Para maximizar a integral, devemos incluir todos os pontos onde
é positiva e excluir onde é negativa. Portanto, a região ótima é a bola de raio
centrada na origem, isto é,
Passo 3
Agora calculamos
Passo 4
Em coordenadas esféricas temos
e o domínio
,
,
. Assim
$$I=\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi}!\int_{0}{1}(1-r2),r^2\sin\theta,dr,d\theta,d\phi.
$$
Passo 5
Primeiro integramos em
:
$$\int_{0}{1}(1-r2)r2,dr=\int_{0}{1}(r2-r4),dr=\Bigl[\frac{r3}{3}-\frac{r5}{5}\Bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}.
$$
Passo 6
Em seguida, os ângulos fornecem o fator
:
$$I=4\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{8\pi}{15}.
$$
Resposta
A região que maximiza a integral é a bola de raio 1: E={(x,y,z):x2+y2+z^2\le1}, e o valor máximo da integral é
.