Determine a região E para a qual a integral tripla
integral tripla 1-x^2-y^2-z^2 d V
é máxima. Calcule o valor desta da integral.

Passo 1

O enunciado pede pra achar a região E que maximiza a integral tripla de 1 - x^2 - y^2 - z^2 e depois calcular esse valor. O conteúdo envolvido é otimização de domínio de integração e uso de coordenadas esféricas para avaliar a integral.

Passo 2

Note que a função integranda f(x,y,z)=1 - r^2, onde r^2=x^2+y^2+z^2, é positiva para r<1 e negativa para r>1. Para maximizar a integral, devemos incluir todos os pontos onde f é positiva e excluir onde é negativa. Portanto, a região ótima é a bola de raio 1 centrada na origem, isto é,
E=(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=1,

Passo 3

Agora calculamos
I=integral triplaE(1-r^2),dV

Passo 4

Em coordenadas esféricas temos dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi e o domínio 0<= r<=1, 0<=theta<=pi, 0<=phi<2pi. Assim
$$I=\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi}!\int_{0}{1}(1-r2),r^2\sin\theta,dr,d\theta,d\phi.
$$

Passo 5

Primeiro integramos em r:
$$\int_{0}{1}(1-r2)r2,dr=\int_{0}{1}(r2-r4),dr=\Bigl[\frac{r3}{3}-\frac{r5}{5}\Bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}.
$$

Passo 6

Em seguida, os ângulos fornecem o fator 4pi:
$$I=4\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{8\pi}{15}.
$$

Resposta

A região que maximiza a integral é a bola de raio 1: E={(x,y,z):x2+y2+z^2\le1}, e o valor máximo da integral é 8pi/15.

Exercícios relacionados