Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região. (x^2 + y^2) * y' = y^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar uma região no plano xy onde a equação diferencial (x^2 + y^2) * y' = y^2 tem solução passando por um ponto específico (x0, y0). Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e condições para existência de soluções. Vamos precisar entender onde a equação está bem definida e onde podemos aplicar o teorema de existência e unicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise. A equação dada é:
Podemos isolar :
Isso nos mostra que o valor de depende das funções x e y. Para que uma solução exista passando pelo ponto (x0, y0), precisamos que a função à direita seja contínua e diferenciável na região ao redor desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos verificar onde a função está definida. O denominador não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Então, a função está definida sempre que:
Isso significa que o ponto (x, y) não pode ser a origem, ou seja, . Portanto, a região onde a solução pode existir é todo o plano xy exceto a origem.

Passo 4

Além disso, pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se a função e sua derivada parcial em relação a y são contínuas em uma vizinhança do ponto (x0, y0), então existe uma única solução passando por esse ponto. No nosso caso, e sua derivada parcial também será contínua desde que .

Resposta

Portanto, a região no plano xy onde a equação diferencial (x^2 + y^2) * y' = y^2 tem uma solução passando pelo ponto (x0, y0) é todo o plano xy menos a origem, ou seja:

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