Mostre que a equação
2 * x^3 - raiz(x^2 + 3 * x) = 1
possui uma solução no intervalo (1,2). (Use o Teorema do Valor Intermediário)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O problema quer que a gente mostre que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo entre 1 e 2. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente nos ajuda a garantir que uma função contínua atinge todos os valores entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Vamos definir uma nova função:
Assim, queremos encontrar no intervalo (1,2) tal que .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que essa função seja contínua no intervalo [1,2]. A função é um polinômio e, portanto, contínua em todo lugar. A função também é contínua porque o que está dentro da raiz, , é sempre positivo para . Como a soma e a subtração de funções contínuas também são contínuas, é contínua no intervalo [1,2].

Passo 4

Vamos agora calcular os valores de nos extremos do intervalo.
Para :
Para :

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função é contínua em um intervalo fechado e é um número entre e , então existe pelo menos um em tal que .
No nosso caso, e . Queremos encontrar , que está entre -1 e 11.84. Como é contínua no intervalo [1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em (1,2) tal que .

Resposta

Portanto, a equação possui pelo menos uma solução no intervalo (1,2).

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