Determine uma relação entre a e b, sabendo que:
\left\{\begin{array}{l}1+\cos x=a \operatorname{sen} x \\\\ 1-\cos x=b \operatorname{sen} x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 1+\cos x = a\,\operatorname{sen} x,\\\\ 1-\cos x = b\,\operatorname{sen} x, \end{cases}
e pede uma relação entre a e b. Vamos usar as identidades de ângulo metade:
1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2},\quad 1-\cos x = 2\operatorname{sen}^2\frac{x}{2},\quad \operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.

Passo 2

Dividindo cada identidade pelo \operatorname{sen} x, obtemos
a = \frac{1+\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \cot\frac{x}{2},
b = \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{2\operatorname{sen}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \tan\frac{x}{2}.

Passo 3

Como \cot\frac{x}{2} = 1/\tan\frac{x}{2}, basta multiplicar:
a\,b = \cot\frac{x}{2}\,\tan\frac{x}{2} = 1.

Resposta

a\,b = 1.

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