Prove que para quaisquer números reais a e b,
2(1-\operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b) \geq \cos ^{2} a+\cos ^{2} b

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer reais a e b, vale
2\bigl(1-\sin a\cdot\sin b\bigr)\ge \cos^{2}a+\cos^{2}b.
O conteúdo principal aqui é manipular identidades trigonométricas, em especial \cos^{2}x=1-\sin^{2}x, e reconhecer uma soma de quadrados não negativa.

Passo 2

Usando \cos^{2}a=1-\sin^{2}a e \cos^{2}b=1-\sin^{2}b, o lado direito fica
\cos^{2}a+\cos^{2}b = (1-\sin^{2}a)+(1-\sin^{2}b) =2-\sin^{2}a-\sin^{2}b.
Logo a desigualdade original
2\bigl(1-\sin a\,\sin b\bigr)\ge 2-\sin^{2}a-\sin^{2}b
é equivalente a
2-2\sin a\,\sin b\ge 2-\sin^{2}a-\sin^{2}b.

Passo 3

Subtraindo 2 de ambos os lados e reorganizando, obtemos
-2\sin a\,\sin b \;\ge\; -\sin^{2}a-\sin^{2}b \;\Longleftrightarrow\; \sin^{2}a+\sin^{2}b-2\sin a\,\sin b\ge0.
Mas
\sin^{2}a+\sin^{2}b-2\sin a\,\sin b =(\sin a-\sin b)^{2},
e sabemos que (\sin a-\sin b)^{2}\ge0 para quaisquer a,b.

Resposta

A desigualdade é equivalente a (\sin a-\sin b)^{2}\ge0, que é sempre verdadeira (com igualdade se, e somente se, \sin a=\sin b).

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