Prove que para quaisquer números reais
e
,
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer reais
e
, vale
O conteúdo principal aqui é manipular identidades trigonométricas, em especial
, e reconhecer uma soma de quadrados não negativa.
Passo 2
Usando
e
, o lado direito fica
Logo a desigualdade original
é equivalente a
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados e reorganizando, obtemos
Mas
e sabemos que
para quaisquer
.
Resposta
A desigualdade é equivalente a
, que é sempre verdadeira (com igualdade se, e somente se,
).