Determine uma representação paramétrica para a superfície:
A parte do parabolóide elíptico x+y^{2}+2 z^{2}=4 que está em frente acima ao plano z=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
x+y^{2}+2 z^{2}=4
e pede uma representação paramétrica da parte dessa superfície que está acima do plano z=0 (ou seja, com z\ge 0). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: a equação da superfície \;x+y^{2}+2 z^{2}=4\;.
  • Pedido: encontrar uma parametrização \mathbf{r}(\cdot,\cdot) que descreva exatamente os pontos da superfície com \;z\ge 0.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática). Uma superfície definida por uma equação da forma \;x = f(y,z)\; é naturalmente vista como o gráfico da função f na coordenada x. Aqui podemos isolar x:
x = 4 - y^{2} - 2 z^{2}.
Isso significa que cada par (y,z) corresponde a um único ponto da superfície com coordenadas (x,y,z)=(4-y^{2}-2 z^{2},\,y,\,z). Para parametrizar uma superfície como essa, escolhemos os parâmetros exatamente como as variáveis livres da função: um parâmetro para y e outro para z.

Passo 3

Construção direta da parametrização (passo a passo, com explicação de variáveis):
  • Defina parâmetros \;u e \;v tais que \;u represente o valor de y e \;v represente o valor de z.
  • Então a parametrização natural é
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(4-u^{2}-2v^{2},\;u,\;v\bigr).
  • Intervalos dos parâmetros: \;u\in\mathbb{R} (porque y pode ser qualquer número real) e \;v\ge 0 (porque estamos tomando somente a parte acima do plano z=0).
  • Justificativa: para qualquer (u,v) com essas restrições, o ponto \mathbf{r}(u,v) satisfaz a equação da superfície e tem z=v\ge 0.

Passo 4

Comentário sobre a escolha: essa parametrização é a mais simples e direta — é a representação como gráfico da função x=f(y,z). É fácil de usar em cálculos (por exemplo, para integrar sobre a superfície ou calcular vetores normais).

Passo 5

Parametrização alternativa (coordenadas elípticas) — mais geométrica e útil quando se quer explorar os níveis y^{2}+2z^{2}= constante:
  • Defina s:=y^{2}+2z^{2} (a “distância elíptica” ao eixo x) e um ângulo \theta tal que y e z sejam parametrizados como
y=\sqrt{s}\cos\theta,\qquad z=\sqrt{\tfrac{s}{2}}\sin\theta.
  • Como queremos z\ge 0, escolhemos \theta\in[0,\pi] (assim \sin\theta\ge 0). O parâmetro s varia em [0,\infty).
  • Substituindo em x=4-s obtemos a parametrização
\mathbf{r}(s,\theta)=\Bigl(4-s,\;\sqrt{s}\cos\theta,\;\sqrt{\tfrac{s}{2}}\sin\theta\Bigr),
com s\in[0,\infty) e \theta\in[0,\pi].
  • Observação prática: se, por algum motivo, for preciso restringir à porção da superfície com x\ge 0 (ou seja, a parte “até a interseção com o plano x=0”), basta limitar s\in[0,4]. O enunciado pediu apenas z\ge 0, então s pode ser qualquer número não negativo.

Passo 6

Exemplo rápido de verificação (para sentir que a parametrização funciona): escolha u=1, v=1 na parametrização direta. Então
\mathbf{r}(1,1)=(4-1-2,\;1,\;1)=(1,1,1),
e de fato (1)+1^{2}+2\cdot1^{2}=1+1+2=4 e z=1\ge0. Tudo confere.

Resposta

\mathbf{r}(u,v)=\bigl(4-u^{2}-2v^{2},\;u,\;v\bigr),\quad u\in\mathbb{R},\\ v\ge0
\mathbf{r}(s,\theta)=\Bigl(4-s,\;\sqrt{s}\cos\theta,\;\sqrt{\tfrac{s}{2}}\sin\theta\Bigr),\quad s\in[0,\infty),\\ \theta\in[0,\pi]

Exercícios relacionados