Determine uma representação paramétrica para a superfície:
A parte do parabolóide elíptico
que está em frente acima ao plano
.
A parte do parabolóide elíptico
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede uma representação paramétrica da parte dessa superfície que está acima do plano
(ou seja, com
). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado: a equação da superfície
. - Pedido: encontrar uma parametrização
que descreva exatamente os pontos da superfície com .
Passo 2
Ideia básica (explicação didática). Uma superfície definida por uma equação da forma
é naturalmente vista como o gráfico da função
na coordenada
. Aqui podemos isolar
:
Isso significa que cada par
corresponde a um único ponto da superfície com coordenadas
. Para parametrizar uma superfície como essa, escolhemos os parâmetros exatamente como as variáveis livres da função: um parâmetro para
e outro para
.
Passo 3
Construção direta da parametrização (passo a passo, com explicação de variáveis):
- Defina parâmetros
e tais que represente o valor de e represente o valor de . - Então a parametrização natural é
- Intervalos dos parâmetros:
(porque pode ser qualquer número real) e (porque estamos tomando somente a parte acima do plano ). - Justificativa: para qualquer
com essas restrições, o ponto satisfaz a equação da superfície e tem .
Passo 4
Comentário sobre a escolha: essa parametrização é a mais simples e direta — é a representação como gráfico da função
. É fácil de usar em cálculos (por exemplo, para integrar sobre a superfície ou calcular vetores normais).
Passo 5
Parametrização alternativa (coordenadas elípticas) — mais geométrica e útil quando se quer explorar os níveis
constante:
- Defina
(a “distância elíptica” ao eixo ) e um ângulo tal que e sejam parametrizados como
- Como queremos
, escolhemos (assim ). O parâmetro varia em . - Substituindo em
obtemos a parametrização
com
e
.
- Observação prática: se, por algum motivo, for preciso restringir à porção da superfície com
(ou seja, a parte “até a interseção com o plano ”), basta limitar . O enunciado pediu apenas , então pode ser qualquer número não negativo.
Passo 6
Exemplo rápido de verificação (para sentir que a parametrização funciona): escolha
,
na parametrização direta. Então
e de fato
e
. Tudo confere.