Calcule \iint_{\sigma} f(x, y, z) d S f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} onde \sigma é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=9 que está entre os planos z=0 e z=2, juntamente com os discos do fundo e do topo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS
onde a função é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e a superfície \sigma é a porção do cilindro \,x^{2}+y^{2}=9, entre os planos z=0 e z=2, juntamente com os discos do fundo e do topo. Informações dadas e pedidos claros:
A superfície \sigma é composta de três partes:
Superfície lateral do cilindro de raio 3 com 0\le z\le2.
Disco inferior (fundo) no plano z=0 com x^{2}+y^{2}\le9.
Disco superior (topo) no plano z=2 com x^{2}+y^{2}\le9.
Raio do cilindro: 3.
Altura (intervalo de z): de 0 a 2.
O objetivo é somar as contribuições das três partes e obter o valor numérico de \iint_{\sigma} f\,dS.
Passo 2
Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) numa região D do plano dos parâmetros, a integral de uma função escalar f sobre a superfície é
Aqui \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá a densidade de área (o dS em termos dos parâmetros).
Como \sigma é união de três superfícies, vamos calcular a integral em cada parte separadamente e somar:
No plano z=0 o disco é \{(x,y,0): x^{2}+y^{2}\le9\}. É natural usar coordenadas polares (r,\theta) com r\in[0,3], \theta\in[0,2\pi].
Parametrização: \mathbf{R}(r,\theta)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;0). Para superfícies planas horizontais o elemento de área é simplesmente dS=r\,dr\,d\theta.