Calcule \iint_{\sigma} f(x, y, z) d S
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} onde \sigma é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=9 que está entre os planos z=0 e z=2, juntamente com os discos do fundo e do topo.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS
onde a função é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e a superfície \sigma é a porção do cilindro \,x^{2}+y^{2}=9, entre os planos z=0 e z=2, juntamente com os discos do fundo e do topo. Informações dadas e pedidos claros:
  • A superfície \sigma é composta de três partes:
    1. Superfície lateral do cilindro de raio 3 com 0\le z\le2.
    2. Disco inferior (fundo) no plano z=0 com x^{2}+y^{2}\le9.
    3. Disco superior (topo) no plano z=2 com x^{2}+y^{2}\le9.
  • Raio do cilindro: 3.
  • Altura (intervalo de z): de 0 a 2.
    O objetivo é somar as contribuições das três partes e obter o valor numérico de \iint_{\sigma} f\,dS.

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) numa região D do plano dos parâmetros, a integral de uma função escalar f sobre a superfície é
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,du\,dv.
Aqui \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá a densidade de área (o dS em termos dos parâmetros).
  • Como \sigma é união de três superfícies, vamos calcular a integral em cada parte separadamente e somar:
\iint_{\sigma} f\,dS = I_{\text{lateral}} + I_{\text{fundo}} + I_{\text{topo}}.
Vou parametrizar cada parte de maneira natural (coordenadas cilíndricas para o cilindro e discos) e calcular as integrais explicitamente.

Passo 3

Integral sobre a superfície lateral do cilindro (parametrização e cálculo do dS):
  • Parametrização natural: usar parâmetros (\theta,z) com \theta\in[0,2\pi], z\in[0,2]:
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(3\cos\theta,\;3\sin\theta,\;z\big).
  • Derivadas parciais:
\mathbf{r}_\theta = \big(-3\sin\theta,\;3\cos\theta,\;0\big),\qquad \mathbf{r}_z = \big(0,\;0,\;1\big).
  • Produto vetorial e sua norma:
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \big(3\cos\theta,\;3\sin\theta,\;0\big), \qquad \big\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\| = \sqrt{(3\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2}=3.
  • A função no cilindro: como x^{2}+y^{2}=9, tem-se
f\big(\mathbf{r}(\theta,z)\big)=9+z^{2}.
  • Portanto a integral sobre a lateral é
I_{\text{lateral}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} (9+z^{2})\cdot 3 \;dz\;d\theta.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{2} (9+z^{2})\,dz = 9\cdot 2 + \frac{2^{3}}{3} = 18 + \frac{8}{3} = \frac{62}{3}.
Multiplicando por 3 obtemos 3\cdot \dfrac{62}{3}=62. Agora integrar em \theta:
I_{\text{lateral}} = \int_{0}^{2\pi} 62\;d\theta = 62\cdot 2\pi = 124\pi.

Passo 4

Integral sobre o disco inferior (fundo) em z=0:
  • No plano z=0 o disco é \{(x,y,0): x^{2}+y^{2}\le9\}. É natural usar coordenadas polares (r,\theta) com r\in[0,3], \theta\in[0,2\pi].
  • Parametrização: \mathbf{R}(r,\theta)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;0). Para superfícies planas horizontais o elemento de área é simplesmente dS=r\,dr\,d\theta.
  • A função na superfície é f=x^{2}+y^{2}+0 = r^{2}.
  • Assim
I_{\text{fundo}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{2}\cdot r\;dr\;d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{3}\;dr\;d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{3} r^{3}\;dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4} = \frac{81}{4}.
Multiplicando por \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi resulta
I_{\text{fundo}} = 2\pi\cdot \frac{81}{4} = \frac{81\pi}{2}.

Passo 5

Integral sobre o disco superior (topo) em z=2:
  • Novamente usar coordenadas polares (r,\theta) com r\in[0,3], \theta\in[0,2\pi]. Aqui z=2.
  • A função é f=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+4.
  • O elemento de área é dS=r\,dr\,d\theta.
  • Então
I_{\text{topo}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r^{2}+4)\,r\;dr\;d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (r^{3}+4r)\;dr\;d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{3} (r^{3}+4r)\;dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{3} + 4\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{3} = \frac{81}{4} + 2\cdot 9 = \frac{81}{4} + 18 = \frac{153}{4}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
I_{\text{topo}} = 2\pi\cdot \frac{153}{4} = \frac{153\pi}{2}.

Passo 6

Somar as três contribuições para obter a integral sobre \sigma:
\iint_{\sigma} f\,dS = I_{\text{lateral}} + I_{\text{fundo}} + I_{\text{topo}} = 124\pi + \frac{81\pi}{2} + \frac{153\pi}{2}.
Some os termos em \pi:
\frac{81\pi}{2} + \frac{153\pi}{2} = \frac{234\pi}{2} = 117\pi,
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\iint_{\sigma} f\,dS = 124\pi + 117\pi = 241\pi.

Resposta

\,241\pi

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