Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
(d) f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
A função é f(z)=\dfrac{1}{\operatorname{sen}(z)}.
Precisamos encontrar todos os pontos singulares isolados e, para cada um, calcular o respectivo resíduo.
Passo 2
Identificar os pontos singulares isolados. As singularidades de f aparecem onde o denominador se anula, ou seja, onde \operatorname{sen}(z)=0. Sabemos que
Portanto os pontos singulares isolados são z=n\pi para n\in\mathbb{Z}.
Passo 3
Verificar o tipo de cada singularidade (polo simples, de ordem maior, essencial, etc.). Para isso, examinamos a derivada de \operatorname{sen} em z_0=n\pi:
Como \operatorname{sen}(z_0)=0 e \operatorname{sen}'(z_0)\neq0, a zero é simples. Consequentemente, f(z)=1/\operatorname{sen}(z) tem um polo simples em cada z=n\pi.
Passo 4
Lembrar a fórmula prática para resíduo em polo simples: se z_0 é polo simples de f, então