Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
(d) f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os resíduos nos pontos singulares isolados da função f(z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{\operatorname{sen}(z)}.
  • Precisamos encontrar todos os pontos singulares isolados e, para cada um, calcular o respectivo resíduo.

Passo 2

Identificar os pontos singulares isolados. As singularidades de f aparecem onde o denominador se anula, ou seja, onde \operatorname{sen}(z)=0. Sabemos que
\operatorname{sen}(z)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto os pontos singulares isolados são z=n\pi para n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Verificar o tipo de cada singularidade (polo simples, de ordem maior, essencial, etc.). Para isso, examinamos a derivada de \operatorname{sen} em z_0=n\pi:
\frac{d}{dz}\operatorname{sen}(z)\bigg|_{z=n\pi}=\operatorname{cos}(n\pi)=(-1)^n\neq 0.
Como \operatorname{sen}(z_0)=0 e \operatorname{sen}'(z_0)\neq0, a zero é simples. Consequentemente, f(z)=1/\operatorname{sen}(z) tem um polo simples em cada z=n\pi.

Passo 4

Lembrar a fórmula prática para resíduo em polo simples: se z_0 é polo simples de f, então
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Aplicaremos essa fórmula para z_0=n\pi.

Passo 5

Calcular o limite usando o desenvolvimento de Taylor de \operatorname{sen} em torno de z_0=n\pi. Como a zero é simples,
\operatorname{sen}(z)=\operatorname{sen}'(n\pi)\,(z-n\pi)+O((z-n\pi)^2).
Substituindo \operatorname{sen}'(n\pi)=\operatorname{cos}(n\pi)=(-1)^n, obtemos, para z próximo de n\pi,
\operatorname{sen}(z)=(-1)^n (z-n\pi)+O((z-n\pi)^2).
Então
\lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)\frac{1}{\operatorname{sen}(z)} =\lim_{z\to n\pi}\frac{z-n\pi}{(-1)^n (z-n\pi)+O((z-n\pi)^2)} =\frac{1}{(-1)^n}.

Passo 6

Simplificar o resultado. Como \dfrac{1}{(-1)^n}=(-1)^n (já que (-1)^n=\pm1 e seu recíproco é ele mesmo), concluímos que
\operatorname{Res}\bigl(f,n\pi\bigr)=(-1)^n,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

\operatorname{Res}\bigl(f,n\pi\bigr)=(-1)^n,\; n\in\mathbb{Z}.

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