Três partículas da mesma massa movem-se sobre uma mesma linha reta. Inicialmente elas passam pelas posicões 1 \mathrm{~m}, 0 e +1 m com velocidades 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Encontre as velocidades finais das partículas, considerando que todos os choques são perfeitamente elásticos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (em linguagem bem direta).\n
  • Três partículas idênticas (mesma massa m) movem-se numa mesma reta. Vou nomeá‑las para não me perder: A é a da esquerda, B é a do meio e C é a da direita. Inicialmente suas posições e velocidades são:\n
    \;A: posição -1\\ \mathrm{m}, velocidade v_A(0)=4\\ \mathrm{m/s}.\n
    \;B: posição 0\\ \mathrm{m}, velocidade v_B(0)=2\\ \mathrm{m/s}.\n
    \;C: posição +1\\ \mathrm{m}, velocidade v_C(0)=1\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Todos os choques são perfeitamente elásticos (energia cinética e momento linear se conservam).\n
    O que eu preciso achar: as velocidades finais de cada partícula depois que todos os choques ocorrerem (ou seja, os valores de v_A, v_B e v_C depois que não há mais choques).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: colisão elástica entre duas partículas de mesma massa em 1D.\n
  • Conservação do momento linear para duas partículas de massa m com velocidades iniciais u_1,u_2 e finais v_1,v_2 dá:\n
m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2 \quad\Rightarrow\quad u_1 + u_2 = v_1 + v_2.\n
  • Conservação da energia cinética dá:\n
\tfrac{1}{2}m u_1^2 + \tfrac{1}{2}m u_2^2 = \tfrac{1}{2}m v_1^2 + \tfrac{1}{2}m v_2^2 \quad\Rightarrow\quad u_1^2 + u_2^2 = v_1^2 + v_2^2.\n
Se subtrairmos as equações apropriadas (ou manipularmos), obtemos que (u_1-u_2)^2=(v_1-v_2)^2, então v_1-v_2=\pm(u_1-u_2). Usando também v_1+v_2=u_1+u_2 ficamos com a solução física (troca de velocidades):\n
v_1 = u_2,\qquad v_2 = u_1,\n
ou seja: para massas iguais numa colisão elástica unidimensional, as velocidades são simplesmente trocadas entre as duas partículas. Isso é muito útil porque evita cálculo pesado: basta saber que em cada colisão entre duas partículas idênticas elas trocam instantaneamente suas velocidades.

Passo 3

Determinar a sequência cronológica das colisões — qual colisão ocorre primeiro, depois qual, etc. — usando posições iniciais e velocidades.\n
  • Distância entre A e B inicialmente: d_{AB}=0-(-1)=1\\ \mathrm{m}. Velocidade relativa v_A-v_B=4-2=2\\ \mathrm{m/s}. Tempo até A alcançar B:\n
t_{AB}=\frac{d_{AB}}{v_A-v_B}=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{s}.\n
  • Distância entre B e C inicialmente: d_{BC}=1-0=1\\ \mathrm{m}. Velocidade relativa v_B-v_C=2-1=1\\ \mathrm{m/s}. Tempo até B alcançar C:\n
t_{BC}=\frac{1}{1}=1\\ \mathrm{s}.\n
Comparando: t_{AB}=0{,}5\\ \mathrm{s}<t_{BC}=1\\ \mathrm{s}, logo a primeira colisão será entre A e B. Depois dessa colisão as velocidades mudam e teremos de verificar o próximo encontro (provavelmente B com C). Vou calcular passo a passo.

Passo 4

Primeira colisão: A atinge B em t=0{,}5\\ \mathrm{s}.\n
  • Coordenada do ponto de colisão (usar posição de A ou B em t=0{,}5):\n
x_{\text{col1}} = -1 + 4\cdot 0{,}5 = -1 + 2 = 1\\ \mathrm{m}.\n
(Conferindo com B: 0 + 2\cdot0{,}5=1 — bate certinho.)\n
  • Aplicando a regra de troca de velocidades para massas iguais: imediatamente após essa colisão\n
v_A = 2\\ \mathrm{m/s},\qquad v_B = 4\\ \mathrm{m/s}.\n
A posição comum no instante 0{,}5\\ \mathrm{s} é x=1. A partícula C nesse instante já se deslocou para\n
x_C(0{,}5)=1 + 1\cdot 0{,}5 = 1{,}5\\ \mathrm{m}.\n
Então, após a primeira colisão B (agora com 4\\ \mathrm{m/s}) está em x=1 e C está em 1{,}5, ou seja, B é mais rápido e vai alcançar C. Vamos achar quando.

Passo 5

Segunda colisão: B (agora com 4\\ \mathrm{m/s}) alcança C (com 1\\ \mathrm{m/s}).\n
  • No instante inicial para essa etapa tome t_0=0{,}5\\ \mathrm{s}. Distância entre eles nesse instante: d=1{,}5-1=0{,}5\\ \mathrm{m}. Velocidade relativa 4-1=3\\ \mathrm{m/s}. Tempo até colidir (após t_0):\n
\Delta t = \frac{0{,}5}{3}=\frac{1}{6}\\ \mathrm{s}\approx0{,}1667\\ \mathrm{s}.\n
  • Então o instante da segunda colisão é\n
t_{\text{col2}} = 0{,}5 + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\\ \mathrm{s}\approx0{,}6667\\ \mathrm{s}.\n
  • Posição da colisão (usar C ou B):\n
x_{\text{col2}} = 1 + 4\cdot\frac{1}{6} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\\ \mathrm{m}\approx1{,}6667\\ \mathrm{m}.\n
  • Aplicando a troca de velocidades entre B e C (massas iguais): imediatamente após essa colisão\n
v_B = 1\\ \mathrm{m/s},\qquad v_C = 4\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Para checar as posições/velocidades imediatamente depois:\n
    • A desde t=0{,}5 até t=2/3 viaja com v_A=2\\ \mathrm{m/s} por \Delta t=1/6, então sua posição em t=2/3 é\n
    x_A\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=1 + 2\cdot\frac{1}{6}=1 + \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\\ \mathrm{m}\approx1{,}3333\\ \mathrm{m}.\n
    • B e C estão em x=\tfrac{5}{3} no instante da colisão e saem com v_B=1 e v_C=4. Agora C fica muito mais rápido e se afasta para a direita; B fica lento. Observamos que A (com 2\\ \mathrm{m/s}) está atrás de B (com 1\\ \mathrm{m/s}), então A vai acabar alcançando B mais adiante. Vamos calcular quando.

Passo 6

Terceira colisão: A (com 2\\ \mathrm{m/s}) alcança B (com 1\\ \mathrm{m/s}) após t=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{s}.\n
  • No instante t_1=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{s}, posições e velocidades são:\n
    • x_A=\tfrac{4}{3}, v_A=2.\n
    • x_B=\tfrac{5}{3}, v_B=1.\n
  • Distância inicial entre A e B nessa etapa: d = \tfrac{5}{3}-\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{m}. Velocidade relativa 2-1=1\\ \mathrm{m/s}. Tempo até colisão:\n
\Delta t = \frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}\\ \mathrm{s}.\n
  • Então o instante da terceira colisão é\n
t_{\text{col3}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\\ \mathrm{s}.\n
  • Posição da colisão (usar A ou B):\n
x_{\text{col3}} = \frac{4}{3} + 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2\\ \mathrm{m}.\n
  • Aplicando novamente a troca de velocidades entre A e B: imediatamente após essa colisão\n
v_A = 1\\ \mathrm{m/s},\qquad v_B = 2\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Verificação para C: C desde a segunda colisão (em t=\tfrac{2}{3}) seguiu com v_C=4 por \Delta t=\tfrac{1}{3} até t=1, então\n
x_C(1)=\frac{5}{3} + 4\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3\\ \mathrm{m},\n
ou seja C está em x=3 com velocidade 4\\ \mathrm{m/s}. Após a terceira colisão, as velocidades são v_A=1,\\ v_B=2,\\ v_C=4. Note que B (com 2) não é rápido o suficiente para alcançar C (com 4), e A (com 1) fica atrás; portanto não ocorrerão mais colisões.

Passo 7

Resumo físico e conclusão (para você decorar o raciocínio para a prova):\n
  • Todas as colisões entre massas iguais apenas trocam velocidades instantaneamente.\n
  • Seguindo a ordem temporal das colisões e trocando velocidades em cada encontro, chegamos às velocidades finais finais:\n
    \;A:\\ v_A(\infty)=1\\ \mathrm{m/s},\n
    \;B:\\ v_B(\infty)=2\\ \mathrm{m/s},\n
    \;C:\\ v_C(\infty)=4\\ \mathrm{m/s}.\n
    Ou seja, as velocidades finais são os valores iniciais permutados após as trocas sucessivas: a partícula da esquerda fica com 1\\ \mathrm{m/s}, a do meio com 2\\ \mathrm{m/s} e a da direita com 4\\ \mathrm{m/s}. Boa notícia: não deu nada de complicado nas contas, só acompanhar colisões e aplicar a regra de troca.

Resposta

Partícula inicialmente em -1\\ \mathrm{m}: 1\\ \mathrm{m/s}\n
Partícula inicialmente em 0\\ \mathrm{m}: 2\\ \mathrm{m/s}\n
Partícula inicialmente em +1\\ \mathrm{m}: 4\\ \mathrm{m/s}

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