Três partículas da mesma massa movem-se sobre uma mesma linha reta. Inicialmente elas passam pelas posicões
e +1 m com velocidades
e
. Encontre as velocidades finais das partículas, considerando que todos os choques são perfeitamente elásticos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (em linguagem bem direta).\n
- Três partículas idênticas (mesma massa
) movem-se numa mesma reta. Vou nomeá‑las para não me perder: é a da esquerda, é a do meio e é a da direita. Inicialmente suas posições e velocidades são:\n
posição , velocidade .\n
posição , velocidade .\n
posição , velocidade .\n - Todos os choques são perfeitamente elásticos (energia cinética e momento linear se conservam).\n
O que eu preciso achar: as velocidades finais de cada partícula depois que todos os choques ocorrerem (ou seja, os valores de, e depois que não há mais choques).
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: colisão elástica entre duas partículas de mesma massa em 1D.\n
- Conservação do momento linear para duas partículas de massa
com velocidades iniciais e finais dá:\n
- Conservação da energia cinética dá:\n
Se subtrairmos as equações apropriadas (ou manipularmos), obtemos que
, então
. Usando também
ficamos com a solução física (troca de velocidades):\n
ou seja: para massas iguais numa colisão elástica unidimensional, as velocidades são simplesmente trocadas entre as duas partículas. Isso é muito útil porque evita cálculo pesado: basta saber que em cada colisão entre duas partículas idênticas elas trocam instantaneamente suas velocidades.
Passo 3
Determinar a sequência cronológica das colisões — qual colisão ocorre primeiro, depois qual, etc. — usando posições iniciais e velocidades.\n
- Distância entre
e inicialmente: . Velocidade relativa . Tempo até alcançar :\n
- Distância entre
e inicialmente: . Velocidade relativa . Tempo até alcançar :\n
Comparando:
, logo a primeira colisão será entre
e
. Depois dessa colisão as velocidades mudam e teremos de verificar o próximo encontro (provavelmente
com
). Vou calcular passo a passo.
Passo 4
Primeira colisão:
atinge
em
.\n
- Coordenada do ponto de colisão (usar posição de
ou em ):\n
(Conferindo com
:
— bate certinho.)\n
- Aplicando a regra de troca de velocidades para massas iguais: imediatamente após essa colisão\n
A posição comum no instante
é
. A partícula
nesse instante já se deslocou para\n
Então, após a primeira colisão
(agora com
) está em
e
está em
, ou seja,
é mais rápido e vai alcançar
. Vamos achar quando.
Passo 5
Segunda colisão:
(agora com
) alcança
(com
).\n
- No instante inicial para essa etapa tome
. Distância entre eles nesse instante: . Velocidade relativa . Tempo até colidir (após ):\n
- Então o instante da segunda colisão é\n
- Posição da colisão (usar
ou ):\n
- Aplicando a troca de velocidades entre
e (massas iguais): imediatamente após essa colisão\n
- Para checar as posições/velocidades imediatamente depois:\n
-
desde até viaja com por , então sua posição em é\n
\n -
e estão em no instante da colisão e saem com e . Agora fica muito mais rápido e se afasta para a direita; fica lento. Observamos que (com ) está atrás de (com ), então vai acabar alcançando mais adiante. Vamos calcular quando.
-
Passo 6
Terceira colisão:
(com
) alcança
(com
) após
.\n
- No instante
, posições e velocidades são:\n -
, .\n -
, .\n
-
- Distância inicial entre
e nessa etapa: . Velocidade relativa . Tempo até colisão:\n
- Então o instante da terceira colisão é\n
- Posição da colisão (usar
ou ):\n
- Aplicando novamente a troca de velocidades entre
e : imediatamente após essa colisão\n
- Verificação para
: desde a segunda colisão (em ) seguiu com por até , então\n
ou seja
está em
com velocidade
. Após a terceira colisão, as velocidades são
. Note que
(com
) não é rápido o suficiente para alcançar
(com
), e
(com
) fica atrás; portanto não ocorrerão mais colisões.
Passo 7
Resumo físico e conclusão (para você decorar o raciocínio para a prova):\n
- Todas as colisões entre massas iguais apenas trocam velocidades instantaneamente.\n
- Seguindo a ordem temporal das colisões e trocando velocidades em cada encontro, chegamos às velocidades finais finais:\n
\n
\n
\n
Ou seja, as velocidades finais são os valores iniciais permutados após as trocas sucessivas: a partícula da esquerda fica com, a do meio com e a da direita com . Boa notícia: não deu nada de complicado nas contas, só acompanhar colisões e aplicar a regra de troca.
Resposta
Partícula inicialmente em
:
\n
Partícula inicialmente em :
\n
Partícula inicialmente em :
Partícula inicialmente em
Partícula inicialmente em