Determine a resposta ao impulso h(t) dos sistemas:
(D^3+6 D^2+12 D+8) y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado diz: “Determine a resposta ao impulso l(D^3+6D^2+12D+8r),y(t)=x(t) do sistema
Aqui o conteúdo é equação diferencial linear de coeficientes constantes e o método da Transformada de Laplace. Para resolver, a gente vai:
  1. interpretar a resposta ao impulso como saída quando ,
  2. passar tudo para o domínio pela Laplace,
  3. achar a função de transferência ,
  4. voltar para o tempo com a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, já que a gente quer LD^3 y=s^3Y(s), LD^2 y=s^2Y(s),;dots , define l(s^3+6s^2+12s+8r),Y(s)=1 Longrightarrow H(s)=Y(s)1=1s^3+6s^2+12s+8 . Pela Laplace (com condições iniciais nulas) temos
e . Logo a equação vira

Passo 3

Agora a gente precisa simplificar o denominador
s^3+6s^2+12s+8
Testa (-2)^3+6(-2)^2+12(-2)+8 = -8 +24 -24 +8 = 0, :
s^3+6s^2+12s+8 = (s+2)^3
então H(s)=1(s+2)^3 é fator. Fazendo divisão ou lembrando, dá
Portanto

Passo 4

Para inverter isso usamos a fórmula da Laplace inversa:
L^-1!1(s-a)^n =t^,n-1(n-1)!,e^at,u(t)
Aqui h(t) =L^-1!1(s+2)^3 =t^3-1(3-1)!,e^-2t,u(t) =t^22,e^-2t,u(t) e , então
(O é a função degrau, marcando causalidade.)

Resposta

boxedh(t)=t^22,e^-2t,u(t)

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