Considere agora o sistema descrito pela equação de diferenças:
y[n]=sumk=0^5 x[n-k]
(1,0) Determine e esboce a saída do sistema anterior se sua entrada for dada por x[n]=2^n u[n].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema definido por
y[n]=sumk=0^5x[n-k]
e a entrada é , onde é o degrau unitário.
Conteúdo: equação de diferenças, somatório deslocado e série geométrica.
O que vamos usar:
  • Entender o papel de pra saber de onde até onde cada soma “liga”.
  • Aplicar fórmula de soma de progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro, escrevemos direto
y[n]=sumk=0^52^,n-k,u[n-k]
Aqui 1,&n-k>=0iff n>= k,0,&n
Então, quando , mesmo o menor faz e tudo zera: para .
Quando , os termos com dão zero, então o limite superior na prática vira , mas como a soma original vai até 5, temos dois regimes:
  • Se , somamos .
  • Se , somamos todos .

Passo 3

Caso 1: y[n]=sumk=0^n2^,n-k =2^nsumk=0^nl(tfrac12r)^k .
A soma vira
sumk=0^nl(tfrac12r)^k =1-(tfrac12)^n+11-tfrac12 =2l[1-2^-(n+1)r]
Fórmula de série geométrica:
y[n] =2^ncdot2l[1-2^-(n+1)r] =2^n+1-1 .
Aqui , então
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Passo 4

Caso 2: y[n] =sumk=0^52^n-k =2^nsumk=0^5l(tfrac12r)^k =2^ncdot1-(tfrac12)^61-tfrac12 =2^ncdot1-tfrac164tfrac12 =2^ncdot6364cdot2 =63,2^,n-5 .
Agora todos os contam, então

Passo 5

Esboço da saída :
  • Para : .
  • De a : cresce como ; vale:
    , , , , .
  • A partir de : dobra a cada passo, mas com fator inicial 63; ou seja
    , , , …
    Visualmente dá uma sequência que “estufa” rápido, dobra após .

Resposta

y[n]= 0, & n<0, 2^n+1-1, & 0<= n<5, 63,2^,n-5, & n>=5

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