Determine a resposta ao impulso h(t) dos sistemas:
(D^2+7 D+12) y(t)=x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a resposta ao impulso l(D^2 + 7D + 12r),y(t) ;=; x(t) do sistema linear dado por
Aqui o conteúdo é EDO (equação diferencial ordinária) de 2º ordem em sistemas LTI e a transformada de Laplace para achar a resposta ao impulso (ou seja, a saída quando ). Precisamos:
  1. Saber que o impulso vira 1 no domínio de Laplace.
  2. Conhecer como fatorar polinômios e fazer frações parciais.
  3. Saber a inversa da transformada de Laplace (tabelinha básica: ).

Passo 2

Como queremos Ly'' +7,Ly'+12,Ly ;=;Lde, assumimos entrada (s^2 Y(s) - s,y(0^-)-y'(0^-)) +7,(sY(s)-y(0^-)) +12 Y(s) = 1 e condições iniciais nulas ( (s^2 +7s +12),Y(s) = 1 Longrightarrow Y(s)=1s^2+7s+12 , ). Aplico transformada de Laplace na EDO:
ou seja
Como as condições iniciais são zero, sobra
E é justamente , a transformada de Laplace da resposta ao impulso.

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio do denominador:
s^2+7s+12 = (s+3)(s+4)
Logo
H(s)=1(s+3)(s+4)

Passo 4

Usamos frações parciais para decompor em termos que a gente já sabe inverter:
1(s+3)(s+4) = As+3 + Bs+4
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(s+4) + B(s+3) , dá
H(s) = 1s+3 ;-; 1s+4
Para achar e :
  • Se :
  • Se :
    Então

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace, lembrando que
h(t) = e^-3tu(t) ;-; e^-4tu(t) ;=;l(e^-3t-e^-4tr),u(t) , a gente obtém

Resposta

boxedh(t) ;=;l(e^-3t-e^-4tr),u(t)

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