Determine a resposta ao impulso e a resposta ao degrau para os seguintes sistemas:
2 \frac{d y(t)}{d t}+3 y(t)=\frac{d x(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado pede a resposta ao impulso h(t) e ao degrau r(t) de um sistema LTI regido pela EDO
2\,\frac{d y(t)}{d t}+3\,y(t)=\frac{d x(t)}{d t},
com condições iniciais nulas. O conteúdo é transformada de Laplace e propriedades de sistemas LTI.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que L\{y'(t)\}=sY(s) e L\{x'(t)\}=sX(s). Obtemos
2\bigl(sY(s)\bigr)+3Y(s)=sX(s) \quad\Longrightarrow\quad (2s+3)\,Y(s)=s\,X(s).
Logo a função de transferência é
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s}{2s+3}.

Passo 3

Para achar a resposta ao impulso h(t)=L^{-1}\{H(s)\}, fazemos a decomposição:
\frac{s}{2s+3} =\frac12\;\frac{2s+3}{2s+3}-\frac12\;\frac{3}{2s+3} =\frac12-\frac{3/2}{2s+3}.
Como \frac{1}{2s+3}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{s+3/2}, temos
H(s)=\frac12-\frac{3}{4}\,\frac{1}{s+\tfrac32}.
Invertendo a Laplace,
h(t) =\frac12\,\delta(t) -\frac{3}{4}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\,u(t).

Passo 4

Para a resposta ao degrau, tomamos X(s)=1/s. Assim
Y(s)=H(s)\,\frac1{s} =\frac{s}{2s+3}\,\frac1{s} =\frac{1}{2s+3} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{s+\tfrac32}.
Invertendo a Laplace,
r(t)=y(t)\bigl|_{x=u} =\frac12\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\,u(t).

Resposta

h(t)=\displaystyle \frac12\,\delta(t)\;-\;\frac{3}{4}\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\,u(t) r(t)=\displaystyle \frac12\,e^{-\tfrac{3}{2}t}\,u(t)

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