Determine a resposta ao impulso e a resposta ao degrau para os seguintes sistemas:
4 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+9 \frac{d y(t)}{d t}=\frac{d x(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear invariante em tempo contínuo descrito pela equação
4\,\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} \;+\;9\,\frac{dy(t)}{dt} \;=\;\frac{dx(t)}{dt}
e pede (a) a resposta ao impulso, isto é, a saída quando x(t)=\delta(t), e (b) a resposta ao degrau, isto é, a saída quando x(t)=u(t). Vamos usar a transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas para obter a função de transferência e daí inverter para o domínio do tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace com y(0^-)=0 e y'(0^-)=0, e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}, temos
4\bigl[s^{2}Y(s)\bigr] + 9\bigl[s\,Y(s)\bigr] \;=\;s\,X(s).
Colocando Y(s) em evidência:
Y(s)\,\bigl(4s^{2}+9s\bigr) \;=\; s\,X(s) \quad\Longrightarrow\quad \frac{Y(s)}{X(s)} \;=\; \frac{s}{4s^{2}+9s} \;=\;\frac{1}{4s+9}.
Logo, a função de transferência é
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{4s+9}.

Passo 3

A resposta ao impulso h(t) é simplesmente a transformada inversa de H(s):
H(s)=\frac{1}{4s+9}=\frac{1}{4}\,\frac{1}{s+\tfrac{9}{4}} \quad\Longrightarrow\quad h(t)=\frac{1}{4}\,e^{-\tfrac{9}{4}t}\,u(t).

Passo 4

Para a resposta ao degrau, usamos X(s)=\tfrac{1}{s}\). Assim \[Y(s)=H(s)\,\frac{1}{s} =\frac{1}{(4s+9)\,s} =\frac{A}{s}+\frac{B}{4s+9}.
Fazendo frações parciais:
\frac{1}{s(4s+9)}= \frac{A}{s}+\frac{B}{4s+9} \;\Longrightarrow\; 1 = A(4s+9)+Bs \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 4A+B=0,\\\\ 9A=1, \end{cases}
logo A=1/9\] e \(B=-4/9. Então
Y(s)=\frac{1/9}{s} \;-\;\frac{4/9}{4s+9} =\frac{1}{9}\,\frac{1}{s}-\frac{4}{9}\,\frac{1}{4}\,\frac{1}{s+\tfrac{9}{4}},
e invertendo:
y_{\text{degrau}}(t) =\frac{1}{9}\,u(t)\;-\;\frac{1}{9}\,e^{-\tfrac{9}{4}t}\,u(t) =\frac{1}{9}\bigl[1-e^{-\tfrac{9}{4}t}\bigr]\,u(t).

Resposta

(a) Resposta ao impulso:
h(t)=\frac{1}{4}\,e^{-\tfrac{9}{4}t}\,u(t).
(b) Resposta ao degrau:
y_{\text{degrau}}(t) =\frac{1}{9}\bigl[1-e^{-\tfrac{9}{4}t}\bigr]\,u(t).

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