Determine a resposta ao impulso e a resposta ao degrau para os seguintes sistemas:
\frac{d y(t)}{d t}+5 y(t)=x(t)

Passo 1

Temos um sistema LTI de primeira ordem descrito pela equação diferencial
\frac{d y(t)}{d t} + 5\,y(t) = x(t).
Queremos encontrar
  1. a resposta ao impulso g(t), isto é, y(t) quando x(t)=\delta(t),
  2. a resposta ao degrau y_{\mathrm{deg}}(t), isto é, y(t) quando x(t)=u(t).

Passo 2

Para achar a resposta ao impulso, substituímos x(t)=\delta(t) e assumimos y(0^-)=0. Integramos a equação de t=0^- a t=0^+:
\int_{0^-}^{0^+}\frac{d y}{d t}\,dt +5\int_{0^-}^{0^+}y(t)\,dt = \int_{0^-}^{0^+}\delta(t)\,dt \;\Longrightarrow\;y(0^+)-y(0^-)=1.
Como y(0^-)=0, temos y(0^+)=1. Para t>0, a equação fica homogênea:
\frac{d y}{d t} +5y=0 \quad\Longrightarrow\quad y(t)=Ce^{-5t}.
Impondo y(0^+)=1 C=1. Logo
g(t)=y(t)=e^{-5t}\,u(t).

Passo 3

Para a resposta ao degrau, podemos usar convolução ou resolver diretamente com x(t)=u(t) e y(0)=0. Pela convolução:
y_{\mathrm{deg}}(t) =\bigl(g * u\bigr)(t) =\int_{0}^{t}e^{-5\,(t-\tau)}\cdot1\,d\tau.
Calculando a integral:
y_{\mathrm{deg}}(t) =\int_{0}^{t}e^{-5\,(t-\tau)}d\tau =e^{-5t}\int_{0}^{t}e^{5\tau}d\tau =e^{-5t}\Bigl[\tfrac{1}{5}e^{5\tau}\Bigr]_{0}^{t} =\frac{1}{5}\bigl(1-e^{-5t}\bigr).
Multiplicando por u(t) para garantir causalidade, obtemos
y_{\mathrm{deg}}(t) =\frac{1}{5}\bigl(1 - e^{-5t}\bigr)\,u(t).

Resposta

Resposta ao impulso:
g(t)=e^{-5t}\,u(t).
Resposta ao degrau:
y_{\mathrm{deg}}(t)=\frac{1}{5}\bigl(1 - e^{-5t}\bigr)\,u(t).

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